Momentos de un conjunto combinatorio de variables aleatorias

Question

Supongamos que $X_1,\dots,X_n$ son variables aleatorias que se distribuyen conjuntamente, de manera que la $n$ -tupla $(X_1,\dots,X_n)$ se distribuye uniformemente en el conjunto de $n$ -partidas de enteros no negativos que suman $k$ . Claramente cada $X_i$ tiene un valor esperado $k/n$ . ¿La literatura publicada proporciona fórmulas agradables para los valores esperados de $p(X_1,X_2,\dots)$ para infinitas clases de polinomios $p(\cdot,\cdot,\dots)$ ?

Estoy siendo necesariamente vago sobre la forma de $p$ porque estoy seguro de que los que realmente quiero entender no están en la literatura (parecen bastante antinaturales cuando los escribes) pero espero expresarlos en términos de "bloques de construcción" más naturales (quizás monomios, quizás algo más) y quiero saber qué bloques de construcción usar. Además, los métodos utilizados para demostrar esos resultados pueden darme ideas sobre cómo atacar mis polinomios directamente.

Un ejemplo sería $p(x_1,x_2,x_3,\cdots) = (x_1+x_2+1)(x_1+x_2+2)$ pero lo que quiero saber no es la respuesta para este caso concreto sino métodos generales que sirvan para resolver infinitos problemas de este tipo a la vez. No necesito que alguien haga el trabajo por mí, pero sí quiero utilizar las herramientas adecuadas.

Answer 1

El número de estas tuplas es el coeficiente de $t^k$ en el producto $$(1+t+t^2+\ldots)^n=(1-t)^{-n}=\sum_{k=0}^\infty \binom{-n}{k}(-t)^k= \sum_{k=0}^\infty \binom{n+k-1}{k}t^k.$$ La suma de $X_1^2$ sobre todas esas tuplas es el coeficiente de $t^k$ en el producto $$(1^2\cdot t+2^2\cdot t^2+\ldots)(1+t+t^2+\ldots)^{n-1}=(t+t^2)(1-t)^{-n-2}= \\\sum_{k=1}^\infty \left(\binom{n+k}{k-1}+\binom{n+k-1}{k-2}\right)t^k.$$ Así, la expectativa de $X_1^2$ es igual a $$ \frac{\binom{n+k}{k-1}+\binom{n+k-1}{k-2}}{\binom{n+k-1}{k}}= \frac{k (2 k + n - 1)}{n (n + 1)}. $$ Expectativa de $X_1X_2$ puede obtenerse de forma análoga o utilizando el hecho de que $$k^2/n=\mathbb{E} X_1(X_1+\ldots+X_n)=\mathbb{E} X_1^2+(n-1)\mathbb{E} X_1X_2,$$ así $\mathbb{E} X_1X_2=\frac{k(k-1)}{n(n+1)}$ .

Answer 2

(Está considerando la distribución uniforme en un simplex discreto. No conozco resultados específicos en la literatura, y una breve búsqueda en Internet no reveló nada).

Una forma sencilla es utilizar el generador conjunto (de probabilidades) de $X_1,\ldots,X_n$ .

Es fácil ver que se puede escribir como $$\mathbb{E}t_1^{X_1}\ldots t_n^{X_n}=\frac{1}{{n+k-1 \choose k}}[x^k] \prod_{i=1}^n \frac{1}{1-t_ix}$$ Utilizando esto se encuentra, por ejemplo, que para $j=(j_1,\ldots,j_n)$ y para los polinomios $p_j(X_1,\ldots,X_n)={X_1 \choose j_1}{X_2 \choose j_2}\cdots {X_n \choose j_n}$ (producto de coeficientes binomiales) y $s=j_1+\ldots+j_n$ $$\mathbb{E} p_j(X_1,\ldots,X_n)=\frac{{k \choose s }}{{n+s-1 \choose s}}$$

AÑADIDO : la primera aparición de momentos parece ser en Whitworth, Elección y azar. Con 1000 ejercicios , 5ª edición (1901), ejercicio 945 (parte inferior de la página 323). Véase https://archive.org/details/choicechancewith00whituoft/page/n4