Dado un espacio de probabilidad filtrado $(\Omega, \mathscr{F}, \{\mathscr{F_n}\}, \mathbb{P})$ ,
dejar $X = (X_n)_{n \geq 0}$ ser un $(\{\mathscr{F_n}\}, \mathbb{P})$ -supermartingale y $T$ sea un finito $\mathbb{P}$ -a.s. deteniendo el tiempo.
¿Cuándo podemos decir que $$X_T = \lim_{n \to \infty} X_{T \wedge n} \ \text{a.s.} \tag{*}$$ ?
Parece que $$\lim_{n \to \infty} T \wedge n = T \tag{**}$$ pero no creo que sea suficiente.
Creo que puedo decir que
$$X_{T\wedge n} = ( \ \sum_{k=0}^{n-1} 1_{\{T=k\}} X_k \ ) + 1_{T\ge n} X_n$$
Si es así, creo que tenemos
$$\lim_{n \to \infty} X_{T\wedge n} = \lim_{n \to \infty} ( \ \sum_{k=0}^{n-1} 1_{\{T=k\}} X_k \ ) + \lim_{n \to \infty} 1_{T\ge n} X_n$$
$$ = \lim_{n \to \infty} ( \ \sum_{k=0}^{n-1} 1_{\{T=k\}} X_k \ ) + \lim_{n \to \infty} 1_{T\ge n} \lim_{n \to \infty} X_n$$
$$ = \lim_{n \to \infty} ( \ \sum_{k=0}^{n-1} 1_{\{T=k\}} X_k \ ) + (0) \lim_{n \to \infty} X_n \text{(*)}$$
$$ = \lim_{n \to \infty} ( \ \sum_{k=0}^{n-1} 1_{\{T=k\}} X_k \ )$$
$$ = \sum_{k=0}^{\infty} 1_{\{T=k\}} X_k = X_T$$
(*) Supongo que tengo que asumir que $\lim_{n \to \infty} X_n$ existe. ¿Es eso? $X_T = \lim_{n \to \infty} X_{T \wedge n}$ a.s. proporcionó $\lim_{n \to \infty} X_n$ existe a.s.?
Edición: He encontrado este enlace que parece sugerir $(*)$ y $(**)$ :
