Un campo vectorial suave en $S^2$ que desaparece en un único punto

Question

Necesito encontrar un campo vectorial como se describe en el título.

Me dieron un par de pistas, y esto es lo que tengo hasta ahora. Que $\varphi:S^2\setminus\{N\}\to\mathbb{R}^2$ sea la proyección estereográfica ( $N$ es el polo norte). Sea $Y$ sea un campo vectorial suave y distinto de cero en $\mathbb{R}^2$ que muere a $0$ "al infinito". Desde $\varphi$ es un difeomorfismo, podemos empujar $Y$ adelante a lo largo de $\varphi^{-1}$ para obtener un campo vectorial suave $(\varphi^{-1})_*Y_{\varphi(p)}$ en $S^2$ . Pero este campo vectorial no es cero en el polo norte... es indefinido. Entonces, ¿puedo definir mi campo vectorial en $S^2$ llamémoslo Z, para que sea el pushforward de $Y$ (como arriba) lejos de $N$ pero $0$ en $N$ ? Y si es así, ¿seguimos teniendo suavidad?

Answer 1

Versión corta:

No es necesario utilizar funciones "complicadas" para matar el campo en el "infinito". Los campos de coordenadas estándar servirán, gracias a la estructura de coordenadas estereográficas.

Sea $(u,v)$ son las coordenadas de la proyección estereográfica sobre $\mathbb{S}^2-\{N\}$ . Consideremos entonces el campo vectorial $\partial_u$ (o también $\partial_v$ ). A priori, sólo se define en $\mathbb{S}^2-\{N\}$

Ahora intenta calcular la expresión local de este campo vectorial en coordenadas estereográficas pero desde el polo sur. Observarás que el campo desaparece en cero (es decir, en el polo sur $S$ ).

Por lo tanto, puede ampliar el campo $\partial_u$ a un campo vectorial bien definido en $\mathbb{S}^2$ que desaparece exactamente en un punto (es decir, el polo sur $S$ ).

Versión larga:

Para ser más precisos, denotemos $(u,v)$ las coordenadas estereográficas relativas a la proyección desde el polo norte, es decir, el mapa $\phi_N : \mathbb{S}^2-\{N\} \to \mathbb{R}^2$ . Denotemos $(\overline{u},\overline{v})$ las coordenadas estereográficas relativas a la proyección del polo sur, que es el mapa $\phi_S : \mathbb{S}^2-\{S\} \to \mathbb{R}^2$ .

Consideremos ahora el campo vectorial $\partial_u$ (en coordenadas), definida en $\mathbb{S}^2-\{N\}$ . En la intersección de los dos gráficos, $\mathbb{S}^2-\{N,S\}$ podemos calcular la expresión de $\partial_u$ en $(\overline{u},\overline{v})$ coordenadas. El resultado es:

$\partial_u = (\overline{v}^2-\overline{u}^2)\partial_\overline{u} - 2\overline{u}\overline{v}\partial_\overline{v} \qquad (1)$

Dónde, por supuesto, $(\overline{u},\overline{v}) = \phi_S \circ \phi_N^{-1} (u,v)$ . Se puede ver fácilmente que este campo vectorial se puede extender en el polo norte, por la fórmula (1).

Por lo tanto, un campo con la propiedad que usted requiere es:

$X_p = \begin{cases} \left(\phi_N^{-1}\right)_* \left(\frac{\partial}{\partial u}\right) & p \in \mathbb{S}^2-\{N\} \\ \left(\phi_S^{-1}\right)_* \left((\overline{v}^2-\overline{u}^2)\frac{\partial}{\partial \overline{u}} - 2\overline{u}\overline{v}\frac{\partial}{\partial \overline{v}}\right) & p \in \mathbb{S}^2-\{S\} \end{cases}$

$X_p$ es un campo vectorial bien definido en el conjunto $\mathbb{S}^2$ . También es obviamente suave, ya que es suave en coordenadas locales. Además $X_N =0$ y $X_p = \partial_u \neq 0$ en $\mathbb{S}-\{N\}$ según sea necesario.

Cálculo explícito del cambio de coordenadas

El mapa de cambio de coordenadas (y su inverso) puede calcularse explícitamente:

$(u,v) = \phi_N \circ \phi_S^{-1}(\overline{u},\overline{v}) = \frac{(\overline{u},\overline{v})}{\overline{u}^2+\overline{v}^2}$

$(\overline{u},\overline{v}) = \phi_S \circ \phi_N^{-1}(u,v) = \frac{(u,v)}{u^2+v^2}$

Utilizando estas expresiones explícitas es fácil expresar $\partial_u$ en términos de coordenadas barradas:

$\frac{\partial}{\partial u} = \frac{\partial \overline{u}}{\partial u}\frac{\partial}{\partial \overline{u}} + \frac{\partial \overline{v}}{\partial u}\frac{\partial}{\partial \overline{v}}$

Ahora, te dejo el último paso (es decir, calcular explícitamente las derivadas). RECUERDA, al calcular las derivadas de las coordenadas barradas con respecto a $u$ para expresarlas en términos de coordenadas BARRADAS.

Answer 2

Sea $N$ sea el polo norte de la esfera $S^2$ . Los planos que pasan por $N$ y perpendicular al $yz$ plano corta la esfera en un círculo. Consideremos el campo $Y$ de vectores unitarios tangentes a dichas circunferencias: se define en el complemento de $N$ . Ahora multiplica $Y$ mediante la función $1-z$ para obtener un campo $X$ . Ahora observe que $X$ se extiende a todo el $S^2$ y sólo desaparece en $N$ .

Answer 3

La Esfera $S^n$ tiene un atlas con dos gráficos $(U_1=S^n\setminus\{N\},\phi_1)$ y $(U_2=S^n\setminus\{S\},\phi_2)$ donde $\phi_1$ y $\phi_2$ son las proyecciones estereográficas respectivamente del polo norte y del polo sur.
El mapa de transición $\phi_2\circ\phi_1^{-1}:\phi_1(S^n\setminus\{S,N\})=\mathbb{R}^n\setminus\{0\}\to\phi_2(S^n\setminus\{S,N\})=\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ viene dada por la inversión $\rho$ a través de la esfera unitaria en $\mathbb{R}^n$ es decir $\phi_2\circ\phi_1^{-1}(x)=\rho(x)=|x|^{-2}x$ .

En consecuencia, el espacio tangente $TS^n$ tiene un atlas compuesto por los dos gráficos $(U_1\times\mathbb{R}^n,T\phi_1)$ y $(U_2\times\mathbb{R}^n,T\phi_2)$ y el mapa de transición $(T\phi_1)\circ(T\phi_1)^{-1}$ es $T\rho$ .

Por tanto, el campo vectorial $v$ en $S^n$ se le da un par ordenado de mapas $v_1,v_2:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ tal que $v_2(\rho(x))=(T_x\rho)v_1(x)$ para todos $x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ .

Lo que quieres es un mapa suave $v_1:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ tal que:

1. $x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}\to (T_{\rho(x)}\rho)v_1(\rho(x))\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ se extiende a un mapa suave definido en todo $\mathbb{R}^n$ y desapareciendo en $0$ .

Tomemos $v_1(x)=f(|x|)v^0$ donde $v^0$ es un vector distinto de cero y $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}_+$ una función suave. La condición (1) se convierte en:

1. $x\in\mathbb{R}_+\to f(x^{-1})(T_{\rho(x)}\rho)v^0)\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ se extiende a un mapa suave que desaparece en $0\in\mathbb{R}$ .}$

Porque $x\in\mathbb{R}_+\to x^{-1}\in\mathbb{R}_+$ junto con todas sus derivadas diverge polinómicamente como $x$ va a $0$ es necesario que $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ es decir $f$ disminuye rápidamente en el infinito. Por ejemplo, podríamos tomar $f(x)=e^{-x^2}$

Editar después de la respuesta de Luca La introducción de $f$ es redundante.
Según la definición $\rho(x)=|x|^{-2}x$ obtenemos los componentes de $T_{\rho(x)}\rho\equiv(D\rho)(\rho(x))$ son polinomios homogéneos de segundo grado en los componentes de $x$ .

Por tanto, la condición 1 se cumple en particular tomando $v^0$ constante no cero como en la respuesta de Luca.