Determinante del producto de dos matrices de distinta dimensión

Question

Si $P$ es un $2\times 3$ matriz, $Q$ es un $3\times 2$ matriz y

$\det(PQ)=2019,$ entonces qué es $\det(QP)$ ?

Lo que he probado:

suponga que $$P = \begin{pmatrix}a&& b&&c\\ d&&e&&f\\\end{pmatrix}$$

y $$Q=\begin{pmatrix}u&&v\\w&&x\\y&&z\end{pmatrix}$$

$$\det(PQ)=\begin{vmatrix}au+bw+cy&&av+bc+cz\\ du+ew+fy&& dv+ex+fz\end{vmatrix}=2019\cdots (1)$$

y $\det(QP)=\begin{vmatrix}au+dv&&bu+ev&&cu+vf\\aw+dx&&bw+ex&&cw+fx\\ay+dz&&by+ex&&cy+fz\end{vmatrix}$

¿Cómo lo resuelvo? Ayúdenme por favor

Answer 1

Tenga en cuenta que $\ker P$ no es trivial porque $\dim \ker P = 3-\dim \text{im}P\ge 1$ por el teorema de la dimensión. Además, tenemos $$\ker (QP)\ge \ker P,$$ lo que implica que $QP$ no es invertible. Esto da como resultado $\det(QP)=0$ . Determinante de $PQ$ es irrelevante.