Imagen inversa de un difeomorfismo

Question

Dejemos que $$f: (0, \infty ) \times (- \pi , - \pi) \to \mathbb{R}^2 \setminus ( (- \infty , 0] \times \{0\})$$

$$f(r, \alpha)=(r \cos \alpha , r \sin \alpha) $$ Encuentre $f^{-1 }(A)$ , donde

$$A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \setminus ( (- \infty , 0] \times \{0\}): (x-\frac{1}{2} )^2+y^2< \frac{1}{4} \}$$

$$(r \cos \alpha-\frac{1}{2})^2+r^2 \sin^2 \alpha < \frac{1}{4} $$ $$r^2-r \cos \alpha< 0 $$ $$r - \cos \alpha< 0$$ Así, $f^{-1 }(A)= \{(r, \alpha) \in (0, \infty ) \times (- \pi , - \pi): r< \cos \alpha \}$ ¿Es correcto?

Answer 1

Sí, esto es correcto. Lo he comprobado visualizando, lo que me resulta útil, así que aquí tienes una forma de hacerlo: Observe que $A$ es el interior del círculo de radio $\frac{1}{2}$ centrado en $(\frac{1}{2}, 0)$ . Si se hace un gráfico polar de $r < \cos(\alpha)$ Eso es exactamente lo que obtienes:

Lo cual tiene sentido, porque $f$ es exactamente la transformación que usamos cuando hacemos gráficos polares (te lleva de $(r, \alpha)$ espacio para $(x, y)$ espacio).

Bonificación: Si ve el $(r, \alpha)$ espacio como un rectángulo con base que va desde $(-\pi, \pi)$ y la altura que va desde $(0, \infty)$ , $f$ puede visualizarse como si se tomaran trozos horizontales del rectángulo y se envolvieran para formar regiones circulares.