Sobre la función holomorfa que evita $\mathbb R$

Question

Me preguntaba si la siguiente afirmación es cierta o no, y creo que lo es.

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La conjetura

Dejemos que $f$ sea una función completa, es decir $f$ holomorfo y $f:\mathbb C\to \mathbb C$ . Suponemos que

$$f(\mathbb C)\cap \mathbb R=\emptyset.$$

Entonces $f$ es constante.

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Lo que he probado

Esta afirmación se me ocurrió por las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Si $f$ es una función holomorfa ( $f:\mathbb R^2\simeq \mathbb C\to \mathbb C$ ), $P(x,y)=\mathfrak R(f)$ y $Q=\mathfrak I(f)$ entonces

$$\begin{cases} \displaystyle\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial Q}{\partial y} \\ \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{\partial Q}{\partial x}. \end{cases}$$

Con estas ecuaciones, podemos decir que si $f(\mathbb C)\subset \mathbb R$ entonces $f$ es constante (entonces tenemos las dos derivadas parciales de $Q$ que son nulas).

Tal vez podamos encontrar una solución aquí, porque si $f(\mathbb C)\cap \mathbb R=\emptyset$ entonces $Q$ no cambia de signo. Pero nos falta mucha información para concluir...

Tal vez podamos utilizar el teorema de Liouville para demostrar un resultado parcial: si

$$\vert f(x)\vert \xrightarrow[\vert z \vert \to \infty]{} +\infty$$

entonces $f$ es constante.

Pero, de nuevo, esto no es realmente satisfactorio.

Answer 1

El comentario de basket muestra un camino hacia una prueba.

Una función entera que evita todos los reales, no puede tener imagen densa, ya que su imagen debe estar en un hiperplano. Sin embargo, una función entera que no tiene imagen densa se ve fácilmente que es constante.

Para dejar $w_0$ estar a una distancia positiva de la imagen de $f$ . Entonces $z \mapsto (f(z)-w_0)^{-1}$ es entera y acotada, por lo que es constante.

Answer 2

Esto se desprende de El pequeño teorema de Picard que establece que cualquier función entera no constante tiene rango $\mathbb{C}$ menos un punto como máximo.

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EDIT: Como muestra la respuesta de quid, invocar a Picard aquí es una exageración masiva. Respondí usándolo porque es un teorema realmente genial.

Answer 3

En aras de la exhaustividad, esto es lo que ocurre para las funciones holomorfas en dominios generales (subconjuntos conectados abiertos) en ${\mathbb C}$ :

Un dominio $\Omega\subset {\mathbb C}$ se dice que es largo a la clase $O_{AB}$ si toda función holomorfa acotada en $\Omega$ es constante. Como el semiplano es conforme al disco unitario, tu pregunta es efectivamente sobre funciones holomorfas acotadas. Resulta que los dominios en $O_{AB}$ admiten una caracterización geométrica muy clara que debería ser tan conocida como los teoremas de Liouville y Picard:

Teorema. Un dominio pertenece a $O_{AB}$ si y sólo si su complemento tiene una medida de Hausdorff unidimensional nula.

(Por ejemplo, el conjunto ternario estándar de Cantor tiene medida lineal cero y, por tanto, toda función holomorfa acotada en su complemento es constante. Por otro lado, si $C$ es un subconjunto "gordo" totalmente desconectado de ${\mathbb R}$ entonces su complemento admite funciones holomorfas no constantes acotadas).

Se puede encontrar una demostración de este teorema (no estoy seguro de quién lo demostró primero) en el libro "Superficies de Riemann" de Ahlfors y Sario.