Ecuación de la esfera centrada en $(a,b,c)$ que pasa por el origen

Question

La pregunta es: Que $(a,b,c)$ denota un punto en $\mathbb{R}^3$ (que no está en el origen). Encuentra la ecuación de la esfera centrada en $(a,b,c)$ que pasa por el origen.

Sé que la ecuación de una esfera con $(a,b,c)$ en el centro es $$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2.$$

No sé muy bien cómo enfocar la pregunta. Un punto en la dirección correcta sería útil.

Answer 1

Usted quiere $(x,y,z)=(0,0,0)$ para satisfacer la ecuación de la esfera. Sea $x=y=z=0$ y obtendrá una identidad para $R^{2}$ .

Answer 2

Puede calcular el valor de $R$ utilizando $R^2$$ = $$a^2$$ +b^2 $$+c^2$ ya que al pasar la esfera por el origen el radio de la esfera debe ser igual a la distancia entre el origen y el punto $(a,b,c)$ .

Answer 3

Piensa en lo que $R$ significa en el contexto de tu ecuación para la esfera anterior - pista - que también comienza con la letra r. ¿Cuál debería ser para tu esfera?

Answer 4

Dejemos que $(a,b,c)=p$ . La ecuación deseada es entonces $\|x-p\|^2=\|p\|^2$ ,