Pregunta básica de la FTC

Question

Estaba trabajando con algunas preguntas del Teorema Fundamental de Calc en Brilliant y tuve algunos problemas con lo siguiente:

"Dado

$$f(x)=\int_3^{x^2}\frac {\sqrt {1+t^6}} tdt$$

$$F(x)=\int_3^xf(t)dt$$

cuál es el valor de $F''(2)$ ?"

Según Brilliant, la respuesta es $\sqrt {4097}$ pero no entiendo por qué... Creo que el $x^2$ me despista en la parte superior de la ecuación.

Mi razonamiento: Sé que $F'(x)=f(x)$ debido a la FTC I. Así que para encontrar $F''(x)$ Todo lo que tengo que hacer ahora es averiguar qué $f'(x)$ es. Estaba pensando que podría volver a aplicar el FTC I a $f(x)$ y sustituirlo por $x^2$ para $t$ , y luego obtengo $f'(x)=\frac {\sqrt {1+{(x^2)}^6}} {x^2} = \frac {\sqrt {1+x^{12}}} {x^2}=\frac {\sqrt {4097}} {4}$ . ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Para evaluar $f'(x)$ necesitamos utilizar la regla de la cadena. Según la FTC, la derivada con respecto a $u$ de $$\int_3^u g(t)\,dt$$ es $g(u)$ . De ello se deduce que la derivada con respecto a $x$ de $$\int_3^{x^2}g(t)\,dt$$ es $(2x)g(x^2)$ .