Pregunta básica de la FTC

Question

Estaba trabajando en algunas preguntas del Teorema Fundamental del Cálculo en Brilliant y tuve algunos problemas con lo siguiente:

"Dado

$$f(x)=\int_3^{x^2}\frac {\sqrt {1+t^6}} tdt$$

$$F(x)=\int_3^xf(t)dt$$

¿Cuál es el valor de $F''(2)$?"

Según Brilliant, la respuesta es $\sqrt {4097}$, pero no entiendo por qué... Creo que el $x^2$ me está confundiendo en la parte superior de la ecuación.

Mi razonamiento: Sé que $F'(x)=f(x)$ debido al TFC I. Así que para encontrar $F''(x)$, todo lo que necesito hacer ahora es averiguar cuál es $f'(x)$. Estaba pensando que podría simplemente volver a aplicar el TFC I a $f(x)$ y sustituir $x^2$ por $t$, y entonces tengo $f'(x)=\frac {\sqrt {1+{(x^2)}^6}} {x^2} = \frac {\sqrt {1+x^{12}}} {x^2}=\frac {\sqrt {4097}} {4}$. ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Para evaluar $f'(x)$, necesitamos usar la Regla de la Cadena. Según el Teorema Fundamental del Cálculo, la derivada con respecto a $u$ de $$\int_3^u g(t)\,dt$$ es $g(u)$. De aquí se sigue que la derivada con respecto a $x$ de $$\int_3^{x^2}g(t)\,dt$$ es $(2x)g(x^2)$.