Una aclaración de una prueba específica de la fórmula de Stirling.

Question

En este puesto aquí encontré una prueba que me intrigó. Sin embargo, tengo varias preguntas al respecto. Aquí está la prueba:

Una prueba que encontré hace un tiempo se basa totalmente en el telescopio creativo. Como $\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n^2(n+1)}$ ,

$$\begin{eqnarray*} \sum_{n\geq m}\frac{1}{n^2}&=&\sum_{n\geq m}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{(n+1)}\right)+\frac{1}{2}\sum_{n\geq m}\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}\right)\\&+&\frac{1}{6}\sum_{n\geq m}\left(\frac{1}{n^3}-\frac{1}{(n+1)^3}\right)-\frac{1}{6}\sum_{n\geq m}\frac{1}{n^3(n+1)^3}\tag{1}\end{eqnarray*} $$ por lo tanto: $$ \psi'(m)=\sum_{n\geq m}\frac{1}{n^2}\leq \frac{1}{m}+\frac{1}{2m^2}+\frac{1}{6m^3}\tag{2}$$ y en un caso similar de la misma manera: $$ \psi'(m) \geq \frac{1}{m}+\frac{1}{2m^2}+\frac{1}{6m^3}-\frac{1}{30m^5}.\tag{3}$$ Integrando dos veces, tenemos que $\log\Gamma(m)$ se comporta como: $$ \log\Gamma(m)\approx\left(m-\frac{1}{2}\right)\log(m)-\color{red}{\alpha} > m+\color{blue}{\beta}+\frac{1}{12m}\tag{4}$$ donde $\color{red}{\alpha=1}$ se desprende de $\log\Gamma(m+1)-\log\Gamma(m)=\log m$ .

Eso da la desigualdad de Stirling hasta una constante multiplicativa.

$\color{blue}{\beta=\log\sqrt{2\pi}}$ entonces se deduce de la y de la conocida identidad:

$$ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=2 \int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.\tag{5}$$

1. ¿Cómo pasamos de $\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n^2(n+1)}$ a todo el asunto de la suma?

2. ¿Qué es? $\psi$ ? ¿De dónde viene?

3. ¿Dónde está el $\frac{1}{30m^5}$ ¿de dónde viene el término?

4. ¿Cómo se llega a eso integrando dos veces?

5. ¿Cómo pasamos de $\log\Gamma(x)$ a $n! \approx \sqrt{2\pi n}\, n^n e^{-n}$ ?

Básicamente, explicarlo de tal manera que una col de Bruselas lo entienda.

Gracias por toda la ayuda.

Answer 1

1. $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ y cosas así son sencillas de calcular ya que son series telescópicas. $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}$ no tiene una estructura telescópica evidente, pero podemos aproximarnos $\frac{1}{n^2}$ con un término telescópico, $\frac{1}{n(n+1)}$ , entonces aproxima la diferencia $\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n(n+1)}$ con un término telescópico y así sucesivamente, hasta alcanzar la precisión requerida;

2. $\psi$ es la función digamma, es decir $\psi(x)=\frac{d}{dx}\log\Gamma(x)=\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$ . Por el producto de Weierstrass para el $\Gamma$ función, $\psi'$ está relacionado con $\sum_{n\geq N}\frac{1}{n^2}$ . Por lo tanto, si somos capaces de aproximar $\psi'$ con una precisión decente, también somos capaces de aproximar $\psi$ por integración termisa, entonces $\log\Gamma$ por integración termal de nuevo, entonces $\Gamma$ por exponenciación. Esa es la idea principal del planteamiento. Al integrar dos veces perdemos la pista de dos constantes, pero eso no es tan malo ya que podemos recuperarlas fácilmente al final a partir de las identidades funcionales que cumple el $\Gamma$ función;

3. El término quíntico proviene de la aproximación de $\frac{1}{n^3(n+1)^3}$ con un término telescópico de la forma $\frac{C}{n^5}-\frac{C}{(n+1)^5}$ ;

4. Ya se ha explicado en 2. ;

5. Ya se ha explicado en 2. : $n!=\Gamma(n+1)=\exp\log\Gamma(n+1)$ .