$f$ es una función analítica en el disco $D=\{z\in\mathbb{C}\,:\,|z|\leq 2\}$ tal que $\iint_D=|f(z)|^2\,dx\,dy\leq 3\pi$ . Maximizar $|f''(0)|$

Question

Determinar el mayor valor posible de $|f''(0)|$ cuando $f$ es una función analítica en el disco $D=\{z\in\mathbb{C}\,:\,|z|<2\}$ con la propiedad de que $\iint_{D}|f(z)|^2\,dx\,dy\leq 3\pi$ .

No sé realmente qué hacer con la suposición de que $\iint_D|f(z)|^2\,dx\,dy\leq 3\pi$ . Creo que se puede utilizar el teorema de Stokes para reescribir esto como una integral de línea en $\partial D$ pero estoy muy oxidado con el uso, así que estoy un poco atascado.

Si pudiera conseguir un límite en $\int_{\partial D}|f(z)|^2\,dz$ probablemente podría utilizar la desigualdad de Harnack para las funciones subarmónicas para obtener un límite en $|f|$ entonces la desigualdad de Cauchy, sin embargo no estoy muy seguro de mi uso del teorema de green (si es que eso es lo correcto) cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias

Answer 1

$$\langle f,f \rangle=\iint_Df(z)\times\overline{f(z)}dxdy=\iint_D |f(z)|^2dxdy \leqslant 3\pi$$

Serie de potencia de $f(z)$ sobre $z=0$ : $$\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n$$ entonces se puede demostrar fácilmente (usando coordenadas polares, editar: o más fácilmente definiendo una base mediante $z^n$ entonces utilizando la forma generalizada de la Identidad de Parseval) que $$\langle f,f \rangle=\pi\sum_{n=0}^{\infty}\frac{|a_n|^2\times 2^{2n+2}}{n+1} \leqslant 3\pi$$ $$\pi \frac{|a_2|^2\times 2^{2*2+2}}{2+1} \leqslant \pi\sum_{n=0}^{\infty}\frac{|a_n|^2\times 2^{2n+2}}{n+1} \leqslant 3\pi$$ $$|f''(0)/2!|^2\times\frac{64}{3} \leqslant3$$ $$|f''(0)| \leqslant\frac{3}{4}$$

CAVEAT El artículo de la página web de la Comisión Europea es el siguiente: puede que haya más de un error, ya que hace tiempo que no hago algo así.

Answer 2

Sugerencia: Escriba $f$ como una serie de potencias, utilice las coordenadas polares en $\int_D |f|^2,$ y utilizar la ortogonalidad de las exponenciales.