En matemáticas, y en particular cuando se habla de la imperfección fenómeno, existe un grave peligro de confundir los dos términos "Verdadero" y "Comprobable".
Ser "verdadero" es una propiedad semántica de una declaración. Las declaraciones son verdaderas en una interpretación particular de la lengua, o un modelo en particular de una teoría. Mientras que ser comprobable es una propiedad sintáctica que significa que hay una secuencia de instrucciones que son los axiomas, o inferencias a partir de los axiomas que es finito, y su declaración final es la declaración queríamos demostrar.
La integridad teorema nos dice que $T$ demuestra una declaración si y sólo si la afirmación es verdadera en todo modelo de $T$. Por lo que a veces abuso el significado y decir cosas como "el Cantor del teorema es verdadero en $\sf ZF$" cuando queremos decir que $\sf ZF$ puede probar el Cantor del teorema.
A veces, como en el caso de la aritmética, hay una intención de interpretación o un modelo estándar para la teoría. Con los números enteros tenemos un modelo estándar que conocemos a caracterizar. Ese es el modelo que nos interesa. Así, en el contexto de los axiomas de Peano de la aritmética nos dice que $\varphi$ es verdadera si es cierto que en el modelo estándar, y demostrables si es verdad en todos los modelos. Sin embargo $\sf ZFC$ está lejos de $\sf PA$ en este contexto, y no se tiene un estándar o la intención de interpretación (en teoría de conjuntos el término "modelo estándar" significa algo que es mucho más arbitrarias que en $\sf PA$).
Así que, finalmente, nos preguntamos ¿qué significa para $\sf CH$ para ser verdad? Ya que no tenemos un modelo estándar de la teoría de conjuntos, no podemos asociar algún "Platónica de la verdad" a la instrucción en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Algunos va a ser cierto en algunos modelos, y algunos serán falsos en otros modelos. El continuum de hipótesis y su negación - ambos son de tal declaración. Y cuando decimos que la hipótesis continua no es demostrable a partir de los axiomas de $\sf ZFC$, podemos decir que matemáticamente nos han demostrado que esta declaración no tiene una prueba a partir de los axiomas. ¿Cómo podemos hacer eso? Hemos demostrado que hay modelos donde es cierto, y de los modelos en los que es falso (asumiendo que existen modelos para empezar, por supuesto).
Así diciendo que $\sf CH$ es cierto, pero no dice donde tiene sentido en el sentido de que no ofrecen información suficiente para evaluar adecuadamente la demanda. Es cierto que en $L$, que es la de Gödel edificable universo (es decir, en todos los modelos de la teoría de conjuntos la satisfacción de la declaración de $V=L$ el continuum hipótesis es verdadera). Pero no tiene que ser cierto en otros modelos de la teoría de conjuntos (por ejemplo, modelos de $\sf PFA$).
Editar:
A partir de la pregunta del comentario muestra que la cuestión de la rosa después de la lectura de una declaración de la forma "el continuum de la hipótesis es verdadera para todos los propósitos prácticos" y "la hipótesis continua es cierto para conjuntos de Borel". La declaración de simplemente decir que si sólo estamos preocupados acerca de los conjuntos de Borel (o algún otro de la familia de conjuntos), son contables, o tiene la cardinalidad del continuo.
Históricamente, cuando el conjunto de Cantor para demostrar su hipótesis continua, era simplemente para encontrar un bijection entre abierta y los intervalos de los números reales; y la utilización de un ingenioso método mostró que innumerables conjuntos cerrados deben tener la cardinalidad del continuo. Cantor se espera que estas pruebas pueden llevar a cabo en algunos de los "complejidad" de los conjuntos, y, finalmente, cubrir todos los conjuntos. Sin embargo, la construcción de la toma de complementar y contables de los sindicatos sólo nos da los conjuntos de Borel, y, de hecho, poco después de salir de los conjuntos de Borel ya se puede ejecutar en clases que no tienen para satisfacer la hipótesis continua.
Leer más:
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