Cambio de entropía: ¿qué fórmula utilizar?

Question

Estoy viendo un sistema de dos sólidos A y B, que está aislado.

A está a una temperatura más alta; por lo tanto, tenemos transferencia de calor de A a B.

Si quisiera calcular el cambio de entropía: $$\Delta S_{tot} = \Delta S_A +\Delta S_B$$ donde $$\Delta S_{AorB} = m_{AorB} \cdot c_v \ln(T_2/T_1)$$ ¿se aplicaría esta fórmula? Esta fórmula es el resultado de integrar $dS = Q/T = c_vm_A dT/T$ para un proceso de volumen constante. Sin embargo, esta fórmula es para un proceso internamente reversible (en el que no se producen irreversibilidades dentro de los límites), pero para cada sistema A y B, sí hay irreversibilidades (transferencia de calor), por lo que no estoy seguro de cómo se aplica esta ecuación en absoluto.

Answer 1

Su ecuación es correcta. Para llevar a cabo los cambios de forma reversible (para determinar el cambio de entropía del sistema), necesitas separar los dos sólidos y someter a cada uno de ellos por separado y de forma reversible a los mismos cambios de temperatura en diferentes procesos alternativos. Esos procesos alternativos reversibles conducen a las mismas fórmulas que has indicado.

Answer 2

La entropía es una función de estado. Eso significa que no importa qué ''camino'' en el diagrama de fases tomes (incluso si no hay ''camino'' cuando es irreversible): sólo depende de los estados inicial y final. Por lo tanto, si tomas como ''variables del sistema'' $T$ y $V$ Su función $S(T,V)$ será lo único que necesitarás.

Dicho esto, la expresión para la entropía que dedujiste es para $V$ constante. \begin{align*} \Delta S &= S(T_2, V_2) - S(T_1, V_1) \\ &= S(T_2, V_2) - S(T_1, V_2) + S(T_1, V_2) - S(T_1,V_1) \\ \Delta S &= \Delta S\rvert_{V=\text{const}} + \Delta S\rvert_{T=\text{const}} \end{align*} En tu caso, sólo tienes una expresión para el término con constante $V$ .

Editar: Mi respuesta es válida para todos los sistemas en general, pero podría señalar algunas cosas para tu caso. El segundo término es $0$ porque es un sólido (su volumen no varía). Además esa expresión es, a priori, para cada parte del sistema, pero como el sistema conserva sus condiciones de contorno para cada parte del sistema, la entropía es aditiva. Así que su total $\Delta S$ será $$ \Delta S = \Delta S_{1}\rvert_{V=\text{const}} + \Delta S_{2}\rvert_{V=\text{const}}$$ donde $S_1$ y $S_2$ son las entropías de cada sólido.

Answer 3

Sin embargo, esta fórmula es para un proceso internamente reversible (donde no se producen irreversibilidades dentro de los límites), pero para cada sistema A y B, sí hay irreversibilidades (transferencia de calor) por lo que no estoy seguro de cómo se aplica esta ecuación en absoluto.

Es correcto que el proceso de transferencia de calor en su ejemplo es irreversible. Pero para calcular el cambio de entropía se puede idear cualquier proceso reversible conveniente que conecte los estados inicial y final y aplicar la ecuación. Puede hacerlo porque la entropía de cada sólido es una función de estado que no depende del proceso que conecta los estados de equilibrio. Así que su ecuación es correcta. Para un excelente manual sobre el cálculo del cambio de entropía, consulte la receta de entropía de @Chet Miller aquí: https://www.physicsforums.com/insights/grandpa-chets-entropy-recipe/

Para aplicar la ecuación, imagina que colocas por separado cada sólido en contacto con una serie infinita de depósitos térmicos que comienzan a la temperatura inicial del sólido y terminan a la temperatura final de cada uno de los sólidos, $T_F$ . La temperatura de cada depósito de la serie difiere infinitesimalmente del sólido y del depósito térmico anterior. Esto asegura que la transferencia de calor para cada sólido es reversible, es decir, que cada sólido está siempre en equilibrio térmico.

Dado que las temperaturas iniciales de los dos sólidos $T_A$ y $T_B$ son diferentes, el proceso de transferencia de calor real es irreversible y debe aplicarse el principio de aumento de entropía, es decir

$$\Delta S_{tot}=\Delta S_{A}+\Delta S_{B}>0$$

Ejemplo:

Para simplificar, consideremos el caso en el que los dos sólidos son idénticos excepto por su temperatura inicial. Entonces la temperatura final es la media de las temperaturas iniciales. Sea $T_A$ = 600 K y $T_B$ = 300 K. La temperatura final es entonces de 450 K. Entonces de la ecuación obtenemos

$\Delta S_{A}$ = mc ln $\frac{450 K}{600 K}$ = - 0,2876 mc

$\Delta S_{B}$ = mc ln $\frac{450 K}{300 K}$ = + 0,4055 mc

$\Delta S_{tot}$ = + 0,1179 mc

Que es igual a la entropía generada por la transferencia de calor irreversible. Es de esperar que cuanto menor sea la diferencia de temperatura, menor será la entropía generada. Por ejemplo, dejemos que $T_A$ = 400 K y $T_B$ = 300 K. La temperatura final es entonces de 350 K y obtenemos.

$\Delta S_{A}$ = mc ln $\frac{350 K}{400 K}$ = - 0,1335 mc

$\Delta S_{B}$ = mc ln $\frac{350 K}{300 K}$ = + 0,1542 mc

$\Delta S_{tot}$ = + 0,0206 mc

En el límite, donde $T_{A}=T_B$ El proceso es reversible y $\Delta S_{tot}$ = 0.

Espero que esto ayude.