Atractores extraños: ¿qué diferencia hay entre un mapa y un sistema de ecuaciones diferenciales?

Question

Por lo que he podido entender, hay dos formas principales de generar (o encontrar) un Atractor extraño :

1. Utilizando un mapa. Por ejemplo, el Mapa de Hénon (para un determinado $a,b$ ):

$$x_{n+1} = 1 - a x_n^2 + y_n \ \ \ , \ \ \ \ y_{n+1} = b x_n$$

2. Utilizando ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, el Sistema Lorentz (para un determinado $\delta,\rho,\beta$ ):

$$\dot x = \delta (y-x) \ \ \ , \ \ \ \ \dot y = x( \rho -z)-y \ \ \ , \ \ \ \ \dot z = x y - \beta z$$

Lo que no entiendo muy bien es qué diferencias hay entre un mapa y las ecuaciones diferenciales en este sentido.

Esto es lo que supongo:

1. Un mapa es siempre un tiempo discreto sistema dinámico Así que no se necesitan ecuaciones diferenciales para generar el atractor extraño.

2. Por otro lado, un sistema de ecuaciones diferenciales es por sí mismo un sistema dinámico de tiempo continuo (debido a que se basa efectivamente en ecuaciones diferenciales).

¿Son correctas las suposiciones anteriores, o las diferencias entre un mapa y un sistema dinámico basado en ecuaciones diferenciales son más que eso? ¿Se puede convertir un sistema de ecuaciones diferenciales en un mapa (probablemente añadiendo algunas restricciones), o del mismo modo, un mapa en un sistema de ecuaciones diferenciales y ser capaz de reproducir el mismo atractor extraño (o una versión restringida del mismo)?

Answer 1

¿son las diferencias entre un mapa y un sistema dinámico basado en ecuaciones diferenciales más que eso?

Bueno, en primer lugar, existe la diferencia práctica de que los mapas suelen ser más fáciles de analizar, mientras que las ecuaciones diferenciales están más cerca de la realidad.

Por supuesto, hay que traducir algunas afirmaciones teóricas. Por ejemplo, se necesitan tres dimensiones en una ecuación diferencial para obtener el caos, mientras que una dimensión es suficiente para los mapas.

Además hay algunos fenómenos (como la ruptura de la ergodicidad débil) que sólo se han observado en mapas cuidadosamente construidos, hasta donde yo sé.

¿Se puede convertir un sistema de ecuaciones diferenciales en un mapa [ ]?

Claro, siempre que resolvemos una ecuación diferencial numéricamente, la estamos convirtiendo esencialmente en un mapa (complicado). Recuerdo que algunos mapas caóticos importantes se han obtenido de esta manera, aunque no puedo nombrar ninguno.

Un enfoque más sofisticado es hacer uso de Secciones de Poincaré es decir, se consideran las intersecciones de la trayectoria con algún plano o colector en el espacio de fase y el mapeo de una intersección a la siguiente. De hecho, así es como se obtuvo el mapa de Hénon a partir del sistema de Lorenz.

¿Puede [ ] un mapa [convertirse] en un sistema de ecuaciones diferenciales [ ]?

Puedo ver cómo, para muchos mapas, se podrían construir cuidadosamente ecuaciones diferenciales que tengan el mapa como una sección de Poincaré, pero ¿qué se ganaría?

ser capaz de reproducir el mismo atractor extraño (o una versión restringida del mismo)?

En cualquier caso, se ganarían o perderían propiedades triviales, por ejemplo, la conectividad del atractor. Obsérvese, por ejemplo, que si se conectan puntos temporalmente adyacentes del atractor de Hénon con líneas, estarían por todas partes, mientras que esto no se aplica al atractor de Lorenz.