Cómo probar $\dim(U)=\dim(W)=\dim(V)-1 \implies V=U+W$ ¿se basa en la siguiente suposición?

Question

Supongamos que $U$ y $W$ son subespacios de un espacio vectorial $V$ tal que $\dim(U) =\dim(W)$ y $U\ne W$ cómo probar $\dim(U)=\dim(W)=\dim(V)-1 \implies V=U+W$ ?

Mi enfoque es utilizar $\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)$ .

Desde $U\ne W$ , $\dim(U\cap W)=0$ . Ahora tengo que demostrar que $\dim(U+W)=\dim(V)$ .

Así que $\dim(U+W)=\dim(V)-1+\dim(V)-1+0=2\dim(V)-2$ .

Pero entonces no sé cómo proceder. ¿Podría alguien ayudarme?

Answer 1

$U \neq W \implies U + 0, 0 + W \subsetneq U + W\subseteq V$ . Por lo tanto, $\dim V - 1 = \dim U < \dim (U +W) \leq \dim V$ .

Answer 2

$U \neq W$ no significa $\dim(U\cap W) = 0$ . Significa $\dim(U\cap W) < \max(\dim(U), \dim(W))$ . Aquí $\dim(U) = \dim(W) = \dim(V) - 1$ así $\dim(U\cap W) \leqslant \dim(V) - 2$ de ahí que el resto de tu razonamiento pueda ir bien.