Que satisfacen el sistema de desigualdades de abajo:

Question

Para cada número entero no negativo $n$ calcula el número de triples $(a, b, c)$ de enteros no negativos que satisfacen el sistema de desigualdades que se presenta a continuación:

$ \begin{cases} a + b \leq 2n \\ a + c \leq 2n \\ c + b \leq 2n \\ \end{cases}$

Lo que yo pensaba: Podemos resolver esto trazando las desigualdades con los límites $x,y,z\geq0$ y conseguir que todos esos $(a,b,c)$ son puntos de la red delimitados por el eje y $x+y+z=2n$ .

Answer 1

Las restricciones definen un $n$ -dilatación del politopo tridimensional con vértices $(0,0,0)$ , $(1,1,0)$ , $(1,0,1)$ y $(0,1,1)$ . El número de puntos de la red es, por tanto, cúbico Polinomio de Ehrhart . Por inspección, los recuentos son $1, 11, 42, 106$ , para $n=0,1,2,3$ respectivamente. El polinomio resultante es por tanto $$2n^3 + \frac{9n^2}{2} + \frac{7n}{2} + 1.$$

Answer 2

Consideremos los triples $ (a, b, c) $ de enteros no negativos que satisfacen las siguientes relaciones: $$\begin{cases} \, a + b = x \\ a + c \leq 2n \\ b + c \leq 2n \end{cases} $$ Dividamos el recuento de estos triples en dos pasos. En la primera consideramos $ x = 2k $ mientras que en el segundo consideramos $ x = 2k + 1 $ . Así, el $ (a, b) $ pares que satisfacen $ a + b = 2k $ son $ (2k, 0), ..., (k, k),..., (0.2k) $ .

Para cada uno de estos pares, $ c $ tendrá que obedecer $ c \leq 2n - M $ donde $ M = \max (a, b) $ , lo que nos da $ 2n - M + 1 $ soluciones. Suponiendo que entre los $ (a, b) $ que satisfacen la ecuación, el valor de $ M $ oscila entre $ k + 1 $ a $ 2k $ dos veces y luego pasa a $ k $ , por lo que el número de soluciones para este caso será: $$\left(2\sum_{M=k+1}^{2k} (2n-M+1)\right)+ 2n - k + 1 $$$$= -3k^2+4nk+2n+1 $$ Para el segundo caso, sea $ n = 2k + 1 $ . La diferencia es que no tendremos la solución extra en la que los componentes del par $ (a, b) $ son iguales. Así: $$\left(2 \sum_{M=k+1}^{2k+1}(2k+1-M+1)\right) $$$$= -3k^2+(4n-3)k+4n $$ Así que sólo hay que calcular la suma de todos los casos en los que $ a + b = 0 $ , $ a + b = 1 $ hasta $ a + b = 2n $ y sólo obtener las sumas para cuando $ 2k + 1 = 1, 3, 5, \dots, 2n-1 $ y la suma con las sumas para cuando $ 2k = 0, 2, 4, \dots, 2n $ : $$\sum_{k=0}^n 3k^2+4nk+2n+1 + \sum_{k=0}^{n-1} -3k^2+(4n-3)k+4n $$$$= 2n^3 + \frac{9n^2}{2} + \frac{11n}{2} + 1 $$