Qué $L^p$ tener una base para que la identidad Pitagórica con exponente $p$ se mantiene?

Question

En el $\ell^p$ espacios con $1\leq p<\infty$, vamos a $\{e_n\}$ ser el estándar de la base. Si $x=\sum_{n=1}^\infty a_ne_n$$\ell^p$, entonces para cualquier $k$ podemos escribir

$$||x||^p=\sum_{n=1}^k |a_n|^p+\sum_{n=k+1}^\infty |a_n|^p=||h||^p+||g||^p$$

donde $h\in$ span$\{e_1,\ldots,e_k\}$ $g\in$ span$\{e_{k+1},e_{k+2},\ldots\}$. Mi pregunta es si una similar de la igualdad se mantiene en el $L^p[0,1]$ espacios para $1\leq p<\infty$?

Algunas de búsqueda en internet me llevó a una secuencia de funciones de $\{f_n\}$ llamado Franklin Sistema que resulta ser un ortonormales base para $L^2[0,1]$. También, el $\{f_n\}$ son una base de Schauder para $L^p[0,1]$. Por lo que puede un cálculo similar se llevó a cabo para $f\in L^p[0,1]$? Es decir, para cada $k$ tenemos la igualdad

$||f||^p=||h||^p+||g||^p$ donde $h\in$ span$\{f_1,\ldots,f_k\}$ $g\in$ span$\{f_{k+1},f_{k+2},\ldots\}$?

O hay otra base para $L^p[0,1]$ para que esta igualdad se mantiene? Gracias.

Answer 1

Bien, el siguiente no es una respuesta completa, pero una corazonada de que lamentablemente es un poco largo para un comentario:

Yo creo que en general esto es falso para $L^p$. La razón por la que funciona en $l^p$ es que su base en un sentido de "tensión dialéctica" de apoyo. Considerar el juguete ejemplo donde tenemos la base de los elementos de $f_1 = e_1 + e_2$$f_2 = e_1-e_2$. A continuación, para $p\neq 2$ general $$\|a f_1 +bf_2\|_p^p = |a+b|^p+|a-b|^p \neq |a|^p + |b|^p$$ (aparte de un par de casos especiales como $a=0,b=0$). Básicamente la ampliación de los $a+b$ $a-b$ términos, simplemente no es correcto. Su $l^p$ ejemplo funciona, ya que los que la base de elementos realmente nunca agregue los factores para el mismo $e_i$, por lo que no recibe dichos términos.

Para$L^p$, no hay ninguna base disparidad apoyo en este sentido. Para cualquier base el elemento $f_i$, habrá (infinitamente muchos) otra base de elementos $f_j$, de tal manera que $\{x\mid f_i(x) \neq 0\} \cap \{x \mid f_j(x) \neq 0\}$ es un conjunto de medida positiva, por lo que se ejecutará en el problema anterior.

Probablemente hay una forma elegante para convertir esto en una prueba, pero estoy un poco cansado de no cometer ningún error.