¿Cómo es el cambio de la $t$ a un $s$ en $v(t) = \frac{ds}{dt} \implies \frac{dt}{ds} = \frac{1}{v(s)}$ ¿se justifica?

Question

Perdona si el título no era lo suficientemente descriptivo ya que no encontré una forma mejor de formular la pregunta.

Así que encontré este artículo que te introduce al cálculo de variaciones utilizándolo para resolver el problema de la braquistócrona.

En la página 2 está el problema, ya que el artículo adquiere velocidad en términos de posición $x$ ( $v(x) = \sqrt{2gy(x)}$ ).

Entonces la distancia recorrida (por tanto la arclitud) de $y(x)$ se define como $s(x) = \int_0^x{\sqrt{1+y'(\hat{x})^2}}d\hat{x}$ como era de esperar por lo que su derivada sobre $x$ es $\frac{ds}{dx} = \sqrt{1+y'(x)^2}$ .

Entonces, por definición, la velocidad es $v(t) = \frac{ds}{dt}$ (nota que ahora depende del tiempo).

Ahora viene la parte problemática, ya que el artículo reordena la ecuación anterior de la siguiente manera: $\frac{dt}{ds} = \frac{1}{v(s)}$ y más tarde $v(s)$ se sustituye en alguna parte por $\sqrt{2gy(x)}$ (así $v(x)$ ) y mi pregunta es:

• ¿Por qué podemos cambiar la función de depender de $t$ a en función de la distancia recorrida $s$ ? ¿La función no toma un tiempo y te devuelve la velocidad? ¿por qué puedes introducir simplemente $s$ ¿Así?

Answer 1

Hay un chiste que dice que si muestras $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ a un matemático y a un físico y preguntarles qué $f(r,\theta)$ es, el matemático dirá $f(r,\theta)=\sqrt{r^2+\theta^2}$ y el físico dirá $f(r,\theta)=r$ .

¿Entiendes el chiste?

El matemático está viendo $f(\cdot,\cdot)$ formalmente como una notación que dice que hay que introducir dos cosas en una fórmula, mientras que el físico está viendo $f$ como una variable que depende de las dos cosas entre paréntesis. Si $f=\sqrt{x^2+y^2}$ entonces podemos decir $f$ depende de $x$ y $y$ y llamarlo $f(x,y)$ pero como esto también es $r$ podemos decir $f=r$ y que $f$ depende de $r$ y $\theta$ y llamarlo $f(r,\theta)$ al menos en la mente del físico.

Así, la velocidad $v$ puede muy bien depender de $t$ , pero eso también dependerá de $s$ ¡entonces también! Porque puedes escribir $s$ en función de $t$ y viceversa, lo que significa que se puede escribir $v$ en función de $s$ o de $t$ y tomar la derivada con respecto a cualquier variable.

Veamos un ejemplo con diferentes letras. Digamos $z=\sqrt{1-y}$ y $y=x^2$ . Entonces un físico diría $z(y)=\sqrt{1-y}$ pero también podrían decir $z(x)=\sqrt{1-x^2}$ , suponiendo que $x,y,z$ representan cantidades físicas. Evidentemente, esto se contradice con la notación habitual de las funciones que entienden los matemáticos.