$\liminf_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Na_nb_n\ge\liminf_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Na_n\liminf_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nb_n$ ?

Question

Supongamos que $a_n$ y $b_n$ son secuencias uniformemente acotadas de números no negativos. ¿Es cierto que $$ \liminf_{N\to\infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_n b_n \ge \liminf_{N\to\infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_n \liminf_{N\to\infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N b_n $$

Mi intento. La observación debería ser que $b_n\ge \liminf_{N} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N b_n$ para $n$ lo suficientemente grande. No estoy seguro de que esto sea correcto.

Esta pregunta puede estar relacionada con este .

Answer 1

No.

Tome $$a_n \stackrel{\rm def}{=} \begin{cases}1 & \text{ if } n \text{ even} \\ 0 & \text{ if } n \text{ odd}\end{cases}$$ y $b_n\stackrel{\rm def}{=} 1- a_n$ , para $n\geq 0$ .

Entonces, para cualquier $N\geq 0$ $$ \sum_{n=0}^N a_nb_n = 0 \tag{1} $$ y así $\liminf_{N\to\infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_n b_n = 0$ . Pero

$$\lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_n = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N b_n = \frac{1}{2} \tag{2}$$ lo que implica $$ \liminf_{N\to\infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_n \liminf_{N\to\infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N b_n = \frac{1}{4}. $$