Supremacía de $M = \{ \left \lfloor{\alpha n} \right \rfloor\frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}_{>0}\}$

Question

Supongamos que el conjunto $M = \{ \left \lfloor{\alpha n} \right \rfloor\frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}_{>0}\} $ con $\alpha \in \mathbb{R}, \alpha > 0$ . ¿Cómo puedo encontrar sistemáticamente el supremum de este conjunto? Este conjunto está aparentemente limitado desde arriba. Creo que $\left \lfloor{\alpha n} \right \rfloor \leq \left \lfloor{\alpha +1} \right \rfloor * n $ Por lo tanto $ \left \lfloor{\alpha +1} \right \rfloor$ es el límite superior de M, pero ¿es este límite el más pequeño posible?

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que para todos los $n\in\mathbb{N}$ tenemos $\lfloor\alpha n\rfloor\frac{1}{n}\leq\alpha n\frac{1}{n}=\alpha$ Así que $\alpha$ es un límite superior. Ahora digo que es el supremum. Sea $\epsilon>0$ . Escoge un lugar lo suficientemente grande $n$ tal que $\frac{1}{n}<\epsilon$ . Así que ahora tenemos:

$\alpha-\epsilon<\alpha-\frac{1}{n}=(\alpha-\frac{1}{n})\frac{n}{n}=(\alpha n-1)\frac{1}{n}\leq\lfloor\alpha n\rfloor\frac{1}{n}$

Así que $\alpha-\epsilon$ ya no es un límite superior de su conjunto.