Cómo calcular el gradiente con respecto a $X$ de los: $$ \log \mathrm{det}\, X^{-1} $$ aquí $X$ es una matriz positiva definida, y el detonante es el determinante de una matriz.
Cómo calcular esto? O ¿cuál es el resultado? Gracias!
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Supongo que usted está pidiendo la derivada con respecto a los elementos de la matriz. En este casos el primer aviso de que
$$\log \det X^{-1} = \log (\det X)^{-1} = -\log \det X$$
y así
$$\frac{\partial}{\partial X_{ij}} \log \det X^{-1} = -\frac{\partial}{\partial X_{ij}} \log \det X = - \frac{1}{\det X} \frac{\partial \det X}{\partial X_{ij}} = - \frac{1}{\det X} \mathrm{adj}(X)_{ji} = - (X^{-1})_{ji}$$
desde $\mathrm{adj}(X) = \det(X) X^{-1}$ para invertir matrices (donde $\mathrm{adj}(X)$ es la adjunta de a $X$, ver http://en.wikipedia.org/wiki/Adjugate).
yannis
Puntos
11
O puedes consultar la sección A. 4.1 del libro (enlace: http://www.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf) para una solución alternativa, donde el cálculo del gradiente sin el uso de la adjunta.
