Determinar si $ \sum_{n = 0}^{\infty} 4\cos(2\pi n)e^{-3n} $ diverge

Question

Consideremos la siguiente serie infinita: $$ \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} 4\cos(2\pi n)e^{-3n} $$ Determina si la serie infinita diverge o converge.

Traté de usar:

1. La prueba integral falló en pocas condiciones, ya que me di cuenta de que $f$ no es siempre decreciente (oscila)
2. La prueba de divergencia tampoco es útil, ya que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} 4\cos(2\pi n)e^{-3n} = 0$

¿Alguna sugerencia o pista? Gracias.

Answer 1

$$\left|4\cos2\pi n\;e^{-3n}\right|\le\frac4{e^{3n}}=4\left(\frac1{e^3}\right)^n$$

y por la prueba de comparación no sólo converge la serie sino que también converge absolutamente .

Answer 2

Tenga en cuenta que $\cos(2\pi n) = 1$ para cada número entero $n$ . Así, $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}4\cos(2\pi n)e^{-3n} = \sum_{n=0}^{\infty}4e^{-3n}$ que es una serie geométrica cuya razón común es $e^{-3} \in (0,1)$ . Así, la suma converge a $\dfrac{4}{1-e^{-3}}$ .