Estaba mirando las derivaciones estándar de la energía almacenada en un condensador, y todas las que encuentro parecen empezar con lo siguiente o una integral similar:
$$W=U=\int_{Q=0}^{Q_f} \phi \, dq $$
Lo cual tiene sentido, pero me gustaría saber si hay una forma de derivar la energía almacenada en un condensador $U=\frac12 C \phi^2$ a través de la definición del trabajo: $W=\int \vec F\cdot \, d\vec{s} $
Aquí está mi trabajo hasta ahora. Puedo obtener la ecuación correcta, pero no estoy seguro de si hay una manera más rápida, o si mi razonamiento es defectuoso.
Comenzamos con el trabajo necesario para trasladar la carga almacenada a su ubicación:
$$W = \int_{r=\infty}^{r=0} {\vec{F} \cdot \, d\vec{s}} $$
Porque $\vec{F} = q\vec{E}$ y $\vec{E} = -\vec\nabla \phi$ :
$$\int_{r=\infty}^{r=0}{q\vec{E} \cdot \, d\vec{s} }= \int_{r=\infty}^{r=0}{q(-\vec\nabla \phi) \cdot \, d\vec{s} } $$
Nuestro camino $\vec{s}$ puede ser cualquier curva parametrizada por el tiempo, lo más conveniente es que esté en coordenadas esféricas $r(t)\hat{r} +\theta(t)\hat{\theta}+\varphi(t)\hat{\varphi}$
Así que entonces $d\vec{s} = dr \, \hat{r} + d\theta \, \hat{\theta}+ d\varphi \, \hat{\varphi}$
$\vec\nabla \phi$ es independiente de la trayectoria y, por tanto, no varía con $\theta$ o $\varphi$ Así que $\vec\nabla \phi = \frac{\delta \phi}{\delta r} \hat{r} + 0\hat{\theta}+0\hat{\varphi}$ tenemos
$$\int_{r=\infty}^{r=0}{-q ({\frac{\delta \phi}{\delta r} \hat{r} + 0\hat{\theta}+0\hat{\varphi}}) \cdot \, (dr \, \hat{r} + d\theta \, \hat{\theta}+ d\varphi \, \hat{\varphi}) }= \int_{r=\infty}^{r=0}{-q {\frac{\delta \phi}{\delta r}} \, dr } = \int_{ \phi=0}^{ \phi= \phi_f}{-q \, d \phi } = - \int_{ \phi=0}^{ \phi= \phi_f}{C \phi \, d \phi} =-\frac{1}{2}C \phi_f^2$$
Utilizando $W = - \Delta U$ tenemos
$$U=\frac{1}{2}C \phi_f^2$$
