Exacto vs. conservador

Question

Tengo problemas para entender las definiciones.

¿Cuál es la diferencia entre que algo sea exacto y que sea conservador? Entiendo que ambos implican probar que una función potencial $f$ existe tal que $$\vec{F}(x,y,z)=M\hat{i}+N\hat{j}+P\hat{k}=\frac{f}{x}\hat{i}+\frac{f}{y}\hat{j}+\frac{f}{z}\hat{k}$$ pero no entiendo qué hace que algo exacto en lugar de conservador o viceversa.

¿Es sólo que las ecuaciones diferenciales pueden ser exactas y los campos vectoriales pueden ser conservadores, o hay algo más?

EDIT: Se ha corregido un error.

Answer 1

• La exactitud es una propiedad de las formas diferenciales, como $M \,\mathrm{d}x + N \,\mathrm{d}y + P \,\mathrm{d}z$ . En particular, si una forma diferencial $\alpha$ es exacta, entonces la ecuación $\alpha= 0$ también se dice que es exacta.

• La conservación es una propiedad de los campos vectoriales, como $(M,N,P)$ .

Answer 2

Son caso particular y caso general :

Formas diferenciales son una generalización de los campos escalares/vectoriales.

Derivación exterior es una generalización de gradiente/divergencia/curvatura.

${\bf F} = \nabla f$ es un caso particular de $\lambda =d\omega$ .