¿La fórmula integral de Cauchy también es válida para los bucles?

Question

Tengo una pregunta sobre la definición de la fórmula integral de Cauchy:

Dejemos que $\gamma$ ser un contorno cerrado simplificado con orientación positiva . Si f es analítica en algún dominio simplemente conectado $D$ que contiene $\gamma$ y $z_0$ es cualquier punto dentro de $\gamma$ entonces: $$ f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(z)}{z-z_0} dz $$ Fundamentos del análisis complejo (Pearson Education 2014)

Mi pregunta se refiere a la elección de contorno arriba, ¿no es esto también cierto si $\gamma$ es un bucle (véase la imagen de ejemplo más abajo) o ¿por qué tenemos que añadir que el contorno tiene que ser también simple? La prueba de la fórmula consiste en utilizar la Teorema de la invariabilidad de la deformación (deformación de contornos) para deformar el contorno $\gamma$ en cuestión a un círculo alrededor del punto $z_0$ y todavía deberíamos poder hacer este paso si el contorno en cuestión es un bucle. ¿Me estoy perdiendo algo obvio o hay tal vez aplicaciones después del análisis complejo que restringe la fórmula, que el autor podría no advertir al lector acerca de mi libro de texto.

Editado:

• Se perdió la $2\pi i$ parte en la fórmula.

Answer 1

En primer lugar, observe que se ha perdido un $2 \pi i$ en la fórmula.

Ahora a tu pregunta. El caso es que si integras en una espira de este tipo, puedes "dividir" esa espira en dos curvas cerradas y por propiedades aditivas de las integrales, escribir la integral como la suma de otras dos integrales. sin embargo, si una de esas divisiones de las espiras no incluye ninguna singularidad, entonces esa integral se reduce a $0$ (véase el teorema de Cauchy-Goursat).

Así que, al final, no importa si $\gamma$ es un bucle o una simple curva cerrada, porque un bucle siempre puede ser tratado como una unión de curvas cerradas.

Espero que mi respuesta sea de ayuda.