Demuestra: Dividir un número impar entre 2 siempre produce un resto de 1

Question

¿Cómo podría demostrar que para todo n perteneciente a los números naturales, si un número impar dado n se divide por 2, entonces el resto es al menos 1?

Tengo una pista: intenta reducir el número de n, pero no tengo ni idea de cómo podría ayudar.

Estaba pensando en la inducción, pero ¿cuál sería el mejor enfoque para esto? Sólo quiero pistas, por favor. Quiero resolver esto por mí mismo, sólo necesito que me digan por dónde empezar.

Answer 1

Podemos demostrar que es exactamente uno.

Dejemos que $n$ sea nuestro número, tal que $n = 2m + r$ m y r números enteros. Si $r < 1$ Entonces tiene que ser cero. En cuyo caso sólo tenemos $n = 2m$ y n ya no es impar. Si $r>1$ , entonces si es par r es divisible por dos por lo que $2|(2m+r)$ , lo que significa que n ya no es impar. Si r es impar, entonces podemos escribirlo como $s+1$ s es par, y $n = 2(m + s/2) + 1$ , lo que significa que 1 es el nuevo resto.

Answer 2

El algoritmo de la división dice que para cualquier $m$ y positivo $n$ en los enteros, hay enteros $q$ y $0\le r\lt n$ para que $$ m=qn+r $$ Para $n=2$ hay dos restos ( $0\le r\lt2$ ): $0$ y $1$ .

$m$ es impar si no es divisible por $2$ (el resto al dividir por $2$ no es $0$ ). Como sólo hay un resto distinto de cero, el resto al dividir $m$ por $2$ debe ser $1$ .

Answer 3

Dividir un entero impar entre el primo dos no siempre da un resto de más uno, que es sólo uno. Dependiendo del dividendo, el entero desigual que se divide por dos, el resto puede ser menos uno. Pero existe la condición de que el cociente, Q tiene que ser un entero desigual. ¿Cómo es esto? Si se acepta la definición de "resto" como el número que se añade algebraicamente al producto del cociente y el divisor para reproducir el dividendo, entonces los restos, r de + 1 y - 1 resultan de forma bastante natural. Por ejemplo, 39 = 2,19 + [+ 1], pero 37 = 2,19 + [- 1] Los residuos respectivos son + 1 y - 1. El caso general es D = 2.Q + i^{1 + D} Aquí, D y Q son números desiguales, considerados como positivos y " i " satisface: i^{2} = - 1. Dos es el divisor. El exponente: {1 + D} al que se eleva " i ", es un número par que siempre da un resto real. Nótese que si {1 + D} es divisible por cuatro, entonces el resto es + 1, pero si {1 + D] sólo es divisible por dos, entonces el resto es - 1. Reordenando el caso general: Q = [D - i^{1 + D}]/2, es evidente que el cociente, Q depende sólo del dividendo, D. Esto no es una prueba de que el resto al dividir un entero impar entre dos, puede ser - 1 o + 1, pero el resultado se ve que es evidente. Prueba de lo anterior. Tomando D = 4.k + 1 o D = 4.k + 3 es el lugar por donde empezar. [a] D = 4.k + 1 da: 4.k + 1 = [4.k + 2] + [ - 1] = 2.[2.k + 1] + [ - 1] Aquí, Q = [2.k + 1] y r = - 1. [b] D = 4.k + 3 da: 4.k + 3 = [4.k + 2] + [ + 1] = 2.[2.k + 1] + [ + 1] En este caso, Q = [2.k + 1] y r = + 1. Fijando i^{1 + D} se obtienen resultados idénticos para [a] y [b].