Sean A y B $n \times n$ matrices tales que $AB=I_n$
b). Demostrar que $A=B^{-1}$ (y por lo tanto $B=A^{-1}$ )
c). Enunciar y demostrar resultados análogos para mapeos lineales definidos en espacios vectoriales de dimensión finita.
Acabo de probar la definición. ¿Está bien?
Definición: Sean V y W espacios vectoriales, y sea $T: V \rightarrow W$ ser lineal. Una función $U:W \rightarrow V$ es un inverso de T si $TU=I_W$ et $UT=I_V$ Si T tiene una inversa, entonces T es invertible.
Una pista. Dejemos que $E$ sea una matriz cuadrada. Entonces, las siguientes son equivalentes:
$\rm (a)$ $E$ es invertible.
$\rm (b)$ La única solución para $E\vec{x} = \vec0$ es $\vec{x} = \vec0$ .
$\rm (c)$ Para cualquier vector $\vec y$ existe un vector $\vec x$ tal que $\vec{y} = E\vec{x}$ .
Ahora, usa $\rm (b)$ para demostrar que $B$ es invertible, y utilizar $\rm (c)$ para demostrar que $A$ es invertible.
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Creo que se trata de demostrar que BA=I también
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Para multiplicar con la inversa de una matriz, primero hay que demostrar que tiene inversa.
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Esto es incontestable antes de que nos digas qué resultados conoces sobre matrices invertibles.
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Según la definición anterior, el inversa de un $m\times n$ matriz $A$ debe ser un $n\times m$ matriz $C$ tal que $AC = I_m$ y $CA = I_n$ . Ahora, la pregunta es, ¿cómo sabes que si $m=n$ y si existe una matriz $B$ tal que $AB = I_n$ Además $BA = I_n$ (y por tanto $A$ y $B$ son inversas entre sí)?
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@Azif00 ¿entonces debo demostrar que A y B son invertibles respectivamente?
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Sí, añado una respuesta más abajo :)