Necesito ayuda con la siguiente pregunta.
Dejemos que $D=\{z\in C:|z|<1\}$ y que $f_n:D\to C$ se define por $f_n(z)=\frac{z^n}{n}$ para $n=1,2,...$ Entonces, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
a) las secuencias $\{f_n(z)\}$ y ${f'_n(z)}$ convergen uniformemente en $D$
b) la serie $\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$ converge uniformemente en $D$
c) la serie $\sum_{n=1}^\infty f'_n(z)$ converge para cada $z\in D$
d) la secuencia $\{f''_n(z)\}$ no converge a menos que $z=0$
Mi intento: $f_n(z)=\frac{z^n}{n}$ Así que.., $f'_n(z)=z^{n-1}$ y esta serie convergería para todo $z\in D$ . Así que, $3rd$ es correcta.
Y $f''_n(z)=(n-1)z^{n-2}$ que, de nuevo, creo que convergería para todos $z\in D$ y no sólo para $z=0$ . Así que, $4th$ es falsa.
Y $f_n(0)=0$ y $\lim_{n\to \infty}f_n(z)=0$ , ${f_n(z)}$ es uniformemente convergente. Y $z^{n-1}=0$ para $z=0$ o cuando $n$ es muy grande. Así que, ${f'_n(z)}$ es uniformemente convergente. Entonces, $1st$ también es cierto. Pero según la clave de respuestas, sólo $3rd$ es correcta.
Y con respecto a $2nd$ opción, estoy totalmente indeciso.
Soy consciente de que esta cuestión ya se ha debatido en el siguiente enlace, pero no satisface mi inquietud.
