Estoy tratando de entender la siguiente desigualdad: $p>0$ Dejemos que $$T_{m}:=\sum_{i=1}^{m}\left(\left|\int\limits_{\frac{i}{n}}^{\frac{i-1}{n}}g(s)dW_{s}\right|^{p}-\left|g \left(\frac{i-1}{n}\right)\left(W_{\frac{i}{n}}-W_{\frac{i-1}{n}}\right)\right|^{p}\right)$$ Entonces wen tiene $$\left|T_{m}\right|\leq C(p)\sum_{i=1}^{m}\left|g\left(\frac{i-1}{n}\right)\left(W_{\frac{i}{n}}-W_{\frac{i-1}{n}}\right)\right|^{max\{p-1,0\}}\left|\int\limits_{\frac{i}{n}}^{\frac{i-1}{n}}g(s)dW_{s}-g \left(\frac{i-1}{n}\right)\left(W_{\frac{i}{n}}-W_{\frac{i-1}{n}}\right)\right|^{min\{p,1\}}+C(p)\sum_{i=1}^{m}\left|\int\limits_{\frac{i}{n}}^{\frac{i-1}{n}}g(s)dW_{s}-g \left(\frac{i-1}{n}\right)\left(W_{\frac{i}{n}}-W_{\frac{i-1}{n}}\right)\right|^{p}$$
Donde $(W_{t})_{t\geq 0}$ es un movimiento browniano estándar y $C(p)$ es una constante que sólo depende de $p$ . He pensado que es una aplicación del teorema del valor medio aplicado a la función $f$ dado por $f(x)=\left|x-g \left(\frac{i-1}{n}\right)\left(W_{\frac{i}{n}}-W_{\frac{i-1}{n}}\right)\right|^{p}$ para $p>1$ y una aplicación de la desigualdad elemental $\left|\left|x\right|^p-\left|y\right|^p\right|\leq \left|x-y\right|^p$ para $p\leq 1 $ . Pero lamentablemente no puedo probarlo.
