Convergencia de una bonita serie

Question

Para qué valor de $a>0$ y $b>0$ hace $$\sum_{n\geq 0}\frac{a^n2^{\sqrt{n}}}{2^{\sqrt{n}}+b^n}$$ ¿converger?

Obviamente no lo hace cuando $b<1$ pero no tengo ninguna otra respuesta.

Answer 1

Considere los siguientes casos:

1. $b>1$ . Entonces $2^{\sqrt n}/b^n\to 0$ y tenemos $$\frac{a^n2^{\sqrt{n}}}{2^{\sqrt{n}}+b^n}=\left(\frac ab\right)^n2^{\sqrt n}\frac 1{1+2^{\sqrt n}/b^n}.$$ La serie $\sum_{n\geqslant 0}\frac{a^n2^{\sqrt{n}}}{2^{\sqrt{n}}+b^n}$ es por tanto convergente cuando $a\lt b$ y divergente si $a\geqslant b$ .

   2. $b=1$ entonces converge si y sólo si $a\lt 1$ .

   3. $b<1$ . Desde $b^n2^{-\sqrt n}\to 0$ tenemos $$\frac{a^n2^{\sqrt{n}}}{2^{\sqrt{n}}+b^n}=a^n\frac{1}{1+b^n2^{-\sqrt n}},$$ obtenemos la convergencia si y sólo si $a\lt 1$ .