Forma cerrada para $\sum_{k=0}^{m} {\binom {m}{k}} a^{k} (b+ck)^N$

Question

¿Existe una forma cerrada para lo siguiente? $$\sum_{k=0}^{m} {\binom {m}{k}} a^{k} (b+ck)^N$$

¿qué tal un bonito límite para los grandes $b$ .

He intentado utilizar la expansión binomial para el $(b+ck)^N$ para convertir la expresión anterior en suma doble y luego trató de simplificar la suma doble que no tuvo éxito. ¿Alguna idea de si he encontrado una forma cerrada para ello?

Answer 1

Definir $$ f(x) = \sum_{k=0}^{m} {\binom {m}{k}} x^{b+ck} = x^b (1+x^c)^m. $$ Definir el operador diferencial $D(g(x)) = xg'(x)$ para que $D^2g(x)=D(D(g(x)) = xg'(x) + x^2g''(x)$ etc. Entonces $$ D^N(f(x)) = \sum_{k=0}^{m} {\binom {m}{k}} D^N(x^{b+ck}) = \sum_{k=0}^{m} {\binom {m}{k}} (b+ck)^Nx^{b+ck}, $$ y así $$ \sum_{k=0}^{m} {\binom {m}{k}} (b+ck)^Na^k = a^{-b/c} (D^Nf)(a^{1/c}). $$ Esto le permitirá obtener una forma cerrada para cualquier valor particular de $N$ , simplemente aplicando $D^N$ a $x^b (1+x^c)^m$ y conectando $x=a^{1/c}$ .