Esta pregunta se desprende de este y especialmente de la respuesta de Willie Wong: enlace .
En el libro de Reed y Simon Métodos de la física matemática moderna vol. I, pág. 277, el dominio de la forma de un operador autoadjunto $(A, D(A))$ en un espacio de Hilbert $H$ se define por pasando a una representación espectral es decir, tomando un isomorfismo unitario
$$U \colon H \to \bigoplus_{j=1}^N L^2(\mathbb{R}, d\mu_j), $$
(donde $N\in \{1, 2 \ldots +\infty\}$ y $\mu_j$ son medidas de Borel finitas) tales que $(UA)\varphi=(x\psi_j(x))_{j=1}^N$ [ $A$ es unitariamente equivalente a la multiplicación por $x$ ]. Se dice entonces que el dominio buscado es
$$Q(q)=\left\{ (\psi_j)_{j=1}^N \ :\ \sum_{j=1}^N \int_{-\infty}^\infty \lvert x \rvert \lvert \psi_j(x)\rvert^2\, d\mu_j <+\infty \right\}.$$
Pregunta . Sea
$$D(\lvert A\rvert^{1/2})=\left\{ \varphi \in H\ :\ \int_{-\infty}^\infty \lvert \lambda \rvert\, d\big(E_A(\lambda)\varphi, \varphi\big)<+\infty\right\},$$
donde $\{E_A(\lambda)\}_{\lambda \in \mathbb{R}}$ es la familia espectral de $A$ (cfr. Reed & Simon vol. I Teorema VIII.6).
¿Es cierto que $Q(q)=D(\lvert A\rvert^{1/2})$ ?
Creo que la respuesta es afirmativa. Esto debería permitir una caracterización del dominio de la forma un poco más transparente que la basada en las representaciones espectrales. Por ejemplo, no está inmediatamente claro que esta última sea independiente de la representación particular elegida.
