¿Cómo se puede resolver la ecuación de $\sqrt{x\sqrt{x} - x} = 1-x$?

Question

$$\sqrt{x\sqrt{x} - x} = 1-x$$

Sé la solución, pero no tienen idea de cómo resolverlo analíticamente.

Answer 1

Por el lado izquierdo para ser definido, usted necesita $x\geq 1$ o $x=0$. Cero no es una solución. El lado izquierdo será igual a 0 $x=1$ y será estrictamente positivo si $x>1$. Para $x\geq 1$, el lado derecho es igual a 0 si $x=1$ y va a ser estrictamente negativo si $x>1$. Esto demuestra que la única solución real es de $x=1$.

Answer 2

Si $\sqrt{x\sqrt{x}-x} = 1-x$, cuadrado ambos lados tenemos $x \sqrt{x} - x = (1-x)^2$, y luego tomar el $-x$ para el otro lado y ajustar de nuevo obtenemos $x^3 = (x + (1-x)^2)^2$. Simplificar a $(x-1)(x^3 -2x^2 +x-1) = 0$, el segundo factor es irreducible sobre los racionales. De curso $x=1$ es una solución. Las raíces de la cúbico son bastante complicadas. Uno es real (aproximadamente $1.754877666$), pero no es una solución de la ecuación original ya que el lado derecho sería negativo y la raíz cuadrada de un número positivo es positivo. Para las raíces complejas, usted tiene que especificar la rama de la raíz cuadrada que quieres decir. Si te refieres a la rama principal (es decir, la parte real no negativo), las raíces complejas no son soluciones de la ecuación original.

Answer 3

La ecuación $$\sqrt{x\sqrt{x}-x} = 1-x$$ implica que ambas partes, y el argumento de cada cuadrado de la raíz, son todos no negativos. Por lo tanto, cualquier solución debe obedecer $$\sqrt{x}\text{ exists}\implies x\ge0$$ $$0\le1-x\implies x\le1$$ $$0\le x\sqrt{x}-x=x\left(\sqrt{x}-1\right) \implica \sqrt{x}\ge1 \implica x\ge1$$ Pero, a continuación, $1\le x\le 1 \implies x=1$ es la única solución.

Answer 4

Sólo la escritura de Robert manipulación:

$$\eqalign{ & \sqrt {x\sqrt x - x} = 1 - x \cr & x\sqrt x - x = {\left( {1 - x} \right)^2} \cr & x\left( {\sqrt x - 1} \right) = {\left( {1 - x} \right)^2} \cr & \sqrt x - 1 = \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{x} \cr & \sqrt x = \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{x} + 1 \cr & x = {\left( {\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{x} + 1} \right)^2} \cr & x = {\left( {\frac{{1 - 2x + {x^2}}}{x} + 1} \right)^2} \cr & x = {\left( {\frac{1}{x} + x - 1} \right)^2} \cr & x = {x^2} - 2x + 3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} \cr & {x^3} = {x^4} - 2{x^3} + 3{x^2} - 2x + 1 \cr & 0 = {x^4} - 3{x^3} + 3{x^2} - 2x + 1 \cr & 0 = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} - 2{x^2} + x + 1} \right) \cr} $$

Nota usted probablemente tiene dos soluciones complejas aparte de $x=1$.