Cuando el precio está por debajo de la par $(P < R)$ como en este problema, el rendimiento será, cetaris paribus disminuyen a medida que el plazo $n$ se incrementa. El comportamiento es el contrario si $R > P$ .
Un argumento más sencillo
El precio viene dado por
$$P = \sum_{j=1}^nc(1+y)^{-j} + R (1+y)^{-n}$$
Supongamos que ampliamos el plazo en un periodo adicional. Manteniendo el mismo rendimiento $y$ el precio se convierte en
$$\begin{align}P' &= \sum_{j=1}^{n+1}c(1+y)^{-j} + R (1+y)^{-(n+1)} \\ &= \sum_{j=1}^{n}c(1+y)^{-j} + R (1+y)^{-n} + c(1+y)^{-(n+1)} +R(1+y)^{-n}\left((1+y)^{-1} - 1 \right) \\ &= P + (1+y)^{-(n+1)} \left(c - yR \right)\end{align}$$
Si $c - yR< 0$ entonces $P' < P$ . Vemos que si se añade un periodo adicional se obtiene un precio menor si el rendimiento $y$ se mantiene fija. El precio y el rendimiento tienen una relación inversa. Para que el precio no cambie, el rendimiento debe bajar.
En este caso, tenemos $y > c/R$ . Esta es la condición que da lugar al "precio con descuento", $P < R.$
Enfoque original
Expresando el precio en términos de flujos de caja descontados, vemos que $$\tag{1}P = \sum_{j=1}^n \frac{c}{(1+y)^j} + \frac{R}{(1+y)^n} \leqslant nc +R$$
Usando la forma cerrada para la suma, también tenemos, como has derivado,
$$P(1+y)^n = c \frac{(1+y)^n-1}{y} + R$$
De donde,
$$\tag{2}y = \left(\frac{c}{P}\frac{(1+y)^n -1 }{y} + \frac{R}{P}\right)^{1/n}-1$$
Utilizando la expansión binomial, tenemos
$$(1+y)^n = 1 + ny + \frac{n(n-1)}{2} y^2 + \mathcal{O}(y^3)$$
En las inversiones típicas, el dividendo y el rendimiento son mucho menores que $1$ y una buena aproximación es
$$(1+y)^n \approx 1 + ny$$
Sustituyendo en (2), obtenemos
$$\tag{3}y \approx \left(\frac{nc+R}{P}\right)^{1/n}-1$$
De (1) tenemos $(nc +R)/P > 1$ y se puede demostrar que el lado derecho de (3) disminuye monótonamente y converge a $0$ comme $n \to \infty$ .
