Por curiosidad, ¿alguien puede mostrar cómo la forma integral y diferencial de Ecuación de Maxwell es equivalente? (Aunque es conceptualmente obvio, estoy pensando que una prueba matemática rigurosa puede ser útil en algunas ocasiones..)
Respuesta
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aalaap
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Bueno, como la gente dijo en los comentarios, los teoremas de Green, Stokes y Gauss harán el trabajo, y son tan matemáticamente rigurosos como se podría esperar aquí.
Los dos conjuntos de fórmulas diferentes siguen directamente.
No quiero escribir las cuatro, deberías ser capaz de hacerlo tú mismo, pero por ejemplo, consideremos la Ley de Gauss.
Comenzando con la forma integral, tenemos (ignorando las constantes físicas)
$$ \int_{\partial \Omega} \vec{E} . d\vec{S} = \int_{\Omega} \rho\space dV$$
Entonces, por Gauss, tenemos
$$ \int_{V} \mbox{div} \vec{F} \space dV = \int_{S} \vec{F} .d \vec{S} $$
Por lo tanto, podemos sustituir
$$ \int_{\partial \Omega} \vec{E} . d\vec{S} \rightarrow \int_{\Omega} \mbox{div} \vec{E} \space dV $$
para dar
$$ \int_{\Omega} \mbox{div} \vec{E} \space dV = \int_{\Omega} \rho\space dV $$
o dejando de lado las integrales,
$$ \mbox{div} \vec{E} = \rho\space $$
que es la forma diferencial.
Deberías intentar derivar los otros tres. Este puede ser útil para mostrarle por dónde empezar y a dónde quiere llegar.
En cuanto a las pruebas de los teoremas de Green, Stoke y Guass, recuerdo haberlas aprendido para algunos exámenes de matemáticas hace algunos años, pero no sabría por dónde empezar ahora. Mira cualquier curso o libro de geometría diferencial y deberían estar en algún lugar al principio. Sin embargo, te aseguro que los matemáticos tienen pruebas rigurosas para ellos, ¡así que no tenemos que ser tímidos a la hora de utilizar los resultados de los teoremas!
