Intuición detrás del multiplicador lagrangiano en este problema

Question

¿Qué forma debe tener una caja rectangular con un volumen determinado para minimizar su superficie?

Sean las longitudes de los bordes de la caja x, y y z. Entonces la restricción de volumen constante es simplemente g(x,y,z) = xyz - V = 0, y la función a minimizar es f(x,y,z) = 2(xy+xz+yz).

Ahora aplicando el método lagrangiano (haciendo el diferencial del lagrangiano igual a cero), (usando L como multiplicador del lagrangiano) obtenemos estas 4 ecuaciones,

2y + 2z - Lyz = 0

2x + 2z - Lxz = 0

2y + 2x - Lxy = 0

xyz = V

Resolviendo esto, obtengo

x = y = z = 4/L

Entiendo que x = y = z es el mínimo de nuestro problema de minimización de superficie. Pero, ¿qué significa aquí la L, en términos de volumen y superficie?

Answer 1

No significa nada. Para ver por qué, supongamos que usted decide trabajar, no con su función $g$ pero con $g^\ast(x,y,z)=-g(x,y,z)=V-xyz$ . ¿Qué diferencia habría? Obtendrá la misma respuesta, por supuesto, pero el nuevo $L$ tendrá el signo contrario.

¿Qué pasa si trabajas con $g_k(x,y,z)=kxyz-kv$ con $k>0$ ? De nuevo, obtendrá la misma respuesta, pero no la misma $L$ .

Answer 2

Si se considera el problema de maximizar o minimizar $f$ sujeta a una restricción de la forma $g=c$ , pero varían $c$ , entonces se obtiene una función $f^*(c)$ . Puedes preguntarte: ¿cuál es la derivada de esta función? ¿Cuánto más $f$ obtenemos al aumentar el nivel de $g$ ? En su caso, ¿cómo cambia la superficie mínima de la caja si cambiamos el volumen?

Supongamos que el punto crítico restringido para el valor $c$ se produce en $(x(c),y(c),z(c))$ . Así que $f^*(c) = f(x(c),y(c),z(c))$ . Por la regla de la cadena: $$ \frac{df^*}{dc} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dc} + \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dy}{dc} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{dz}{dc} $$ Por el teorema del multiplicador de Lagrange, y de nuevo la regla de la cadena: \begin{align*} \frac{df^*}{dc} &= \lambda\frac{\partial g}{\partial x}\frac{dx}{dc} + \lambda\frac{\partial g}{\partial x}\frac{dy}{dc} + \lambda\frac{\partial g}{\partial z}\frac{dz}{dc} \\ &= \lambda \frac{d}{dc}g(x(c),y(c),z(c)) \end{align*} Pero ahora $g(x(c),y(c),z(c)) = c$ por diseño. Así que la derivada del lado derecho es $1$ . En resumen, la derivada del valor extremo, en función del nivel de restricción, es el multiplicador. $$ \frac{df^*}{dc} = \lambda $$

Tiene mucho sentido en los problemas económicos en los que las variables de decisión son una mezcla de bienes, la función objetivo es la utilidad y la función de restricción son los costes totales. Suponiendo que ajustamos continuamente el consumo para maximizar la utilidad con un presupuesto fijo, el multiplicador es la utilidad marginal del dinero.

Answer 3

El problema de optimización es:

$\hspace{3cm}$ Minimizar $f(x,y,z)=2(xy+yz+zx)$ sujeto a $xyz=V$ .

La función de Lagrange es:

$\hspace{4cm}$ $L(x,y,z,\lambda)=2(xy+yz+zx)+\lambda(V-xyz)$ .

$\lambda$ es una variable ficticia que puede utilizarse para responder a una pregunta adicional:

$\hspace{3cm}$ ¿Cuánto costará $f(x,y,z)$ cambiar si $V$ cambios por $k$ ¿unidades?

Respuesta: Cambiará aproximadamente por $\lambda k$ . De hecho, considere $L(x,y,z,\lambda,V)$ :

$$\Delta L=L_{V}\Delta V=\lambda k.$$

Answer 4

La idea del método de los multiplicadores de Lagrange es que en los valores extremos la superficie de nivel de la función a optimizar y la gráfica de la restricción son tangentes. Eso hace que los dos vectores normales tengan la misma dirección. La constante $L$ es la proporción de los dos vectores normales.

Answer 5

El tratamiento correcto del problema es el siguiente

Primero el Lagrangiano

$$ L(x,y,\lambda) = 2(x y+x z+y z)+\lambda(V-x y z) $$

En segundo lugar la determinación de los puntos estacionarios resolviendo

$$ \nabla L = \{L_x,L_y,L_z,L_{\lambda}\} = 0 $$

o

$$ -\lambda y z + 2 (y + z) = 0\\ -\lambda x z + 2 (x + z) = 0\\ -\lambda x y + 2 (x + y) = 0\\ V - x y z = 0 $$

Cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. Después de resolver tenemos

$$ x = V^{1/3}, y = V^{1/3}, z = V^{1/3}, \lambda = 4/V^{1/3} $$

sin ambigüedades.