Problema de probabilidad en una prueba de cáncer.

Question

Existe una prueba para saber si una persona tiene cáncer.

1.) El 95% de las personas que se someten a esta prueba Y tienen cáncer obtendrán una identificación positiva de que tienen cáncer.

2.) El 2% de las personas que se someten a esta prueba y que NO tienen cáncer también obtendrán una identificación positiva de que tienen cáncer.

3.) La probabilidad de que una persona que se someta a esta prueba tenga cáncer es del 8%.

¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga cáncer si se somete a la prueba y obtiene un resultado positivo?

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No sé cómo abordar este problema... Asumí que como no sabemos si la persona realmente tiene cáncer o no, que entraría tanto en el 95% del primer punto como en el 2% de las personas que no tienen cáncer pero que tienen una identificación positiva.

Por lo tanto, 95% * 2% = 1.9%

Pero no veo cómo el tercer punto ata todo...

Answer 1

Punto $1$ describe la tasa de verdaderos positivos. Punto $2$ describe la tasa de falsos positivos. Punto $3$ describe la prevalencia global.

La forma más sencilla de resolver este problema es construir un $2\times 2$ mesa. Por ejemplo, supongamos que estamos examinando una población de $2500$ sujetos (este número puede tomarse de forma arbitraria, ya que nos interesan los porcentajes). Dado que la prevalencia es $8\%$ tenemos $200$ sujetos con cáncer. Debido a que la tasa de verdaderos positivos es $95\%$ tenemos que la prueba es positiva en $190$ de ellos, y negativo en los restantes $10$ . Por otro lado, como la tasa de falsos positivos es $2\%$ tenemos que, entre los $2300$ sujetos sanos, $46$ de ellos tienen una prueba positiva. Por lo tanto, el número total de sujetos con prueba positiva es $190+46=236$ y la probabilidad de que un sujeto tenga cáncer dado un resultado positivo (es decir, el valor predictivo positivo) es $\displaystyle \frac{190}{236}\approx 80.5\%$ .

Answer 2

Se trata de una aplicación del Teorema de Baye que establece que $P(A|B)=\frac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(B)}$ .

En su ejemplo, dejemos que $A$ representar el caso de que la persona tenga cáncer y dejar $B$ representan el caso de que den positivo en las pruebas de cáncer.

Sabemos que $P(B|A) = P$ (Han dado positivo si tienen cáncer) = $.95$ y que $P(A) = P($ Tienen cáncer) = $.08$ .

El único dato que nos falta es $P(B)$ que se puede calcular haciendo $P(B) = P(B\cap A) + P(B\cap A^c) = P(A)\cdot P(B|A) + P(A^c)\cdot P(B|A^c) = .08\cdot .95 + .92\cdot .02 = .0944$

Introduciendo estos valores, obtenemos $P(A|B) = \frac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(B)} = \frac{.08\cdot .95}{.0944}\approx .8051$