Por ello, aunque estas funciones tienen la misma derivada, ¿no difieren por una constante?

Question

He calculado la derivada de $\arctan\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ $\frac{1}{1+x^2}$. Este es el mismo $(\arctan)'$. ¿Por qué no hay $$ c que satisface $\arctan\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = \arctan(x) +c$?

Answer 1

El problema es que $\arctan \frac{1+x}{1-x}$ no está definido en $x = 1$, y, en particular, no es diferenciable allí. De hecho, hemos $$\arctan \frac{1+x}{1-x} - \arctan x = \begin{casos} \frac{\pi}{4} & x < 1, \\ -\frac{3\pi}{4} & x > 1. \end{casos}$$ Así que la diferencia es seccionalmente constante.

Answer 2

Sugerencia: $$\tan(x+y)=\frac{\tan x + \bronceado y}{1-\tan x\bronceado y}$$

¿Qué sucede cuando $\bronceado y=1$?

Answer 3

Por tramos, que hacer difieren por una constante. Sólo con una discontinuidad en x=1.

Y hemos de definir explícitamente arctan(t), tenemos que la discontinuidad en t=+/-inf