Un cierto funcional lineal en el subespacio de las secuencias sumables en $\ell^2.$

Question

Dejemos que $S=\{ a \in \ell^2 \setminus \sum_{n=1}^\infty a_n <\infty \}$ sea el subespacio de $\ell^2$ de secuencias sumables sobre $C$ .

Dejemos que $T:S \to C$ sea la función lineal tal que $T(a)=\sum_{n=1}^\infty a_n$

Mi pregunta es: ¿es $T$ ¿un funcional lineal acotado?

Gracias por cualquier sugerencia.

Answer 1

Considere las secuencias $(x_i)_{i=1,2,\dots}$ definido por $$(x_i)_n = \frac{1}{n^{1+1/i}}.$$ Las secuencias son todas sumables, porque las integrales impropias $$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{1+1/i}}\, dx$$ son finitos, por lo que todos pertenecen a $S$ . También están limitados en $\ell^2$ porque $$ \sum_{n=1}^{\infty} (x_i)_n^2 \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \quad i = 1,2,\dots.$$ Sin embargo, $T(x_i) \to \infty$ como $i\to \infty$ porque la secuencia $x_i$ converge puntualmente a $1/n$ que no es sumable.