Base ortogonal del complemento ortogonal

Question

Dejemos que $$U = \{\vec{x} \in \mathbb{R}^n : x_1=x_2=...=x_n\}$$ Tengo que encontrar la base ortogonal de $$U^{\bot}$$ Intentaba utilizar el proceso de Gram-Schmidt pero supongo que no funciona en este caso. ¿Hay alguna solución sencilla para este problema?

Answer 1

Quieres encontrar los vectores $\vec{y} = \left(\begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{array}\right)$ tal que $\left(\begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 1 \\ \vdots \\ 1\end{array}\right) = 0$ (ya que cada $\vec{x}\in U$ es un múltiplo escalar de este vector).

Por lo tanto, lo que se tiene es la ecuación única $y_1 + \cdots + y_n = 0$ . Hay $n-1$ parámetros libres. Dejando $y_n = -y_1 - \cdots - y_{n-1}$ ¿ves lo que es una base?