Cuántas funciones

Question

Cuántas funciones $f$ están allí desde $A = \{1,2,3,4,5,6\}$ a $B =\{a,b,c,d,e\}$ tal que para todo $x$ sur $A$ existe exactamente una $y$ perteneciente a $A$ tal que $x$ no es igual a $y$ y $f(x) = f(y)$ .

Mi intento: Básicamente tenemos que hacer 3 pares en el dominio y dar a cada par un valor de $B$ . Así que

Número de formas de hacer 3 pares = $${6}\choose{2,2,2}$$

Número de formas de elegir tres valores de $B$ = $${5}\choose{3}$$

Número de formas de asignar estos 3 valores a los pares = $$3!$$

Así que el número total de funciones debería ser $$90*10*6 = 5400$$

¿Es esta la respuesta correcta?

Answer 1

No estoy seguro de cómo $\binom{6}{2,2,2}$ está definido, así que lo haré a mano.

En efecto, primero hay que determinar cuántas formas hay de elegir tres pares. Tienes 5 maneras de hacer un par con 1. Digamos que tomas 2. Luego tienes 3 maneras de hacer un par con el 3. Digamos que tomas el 4. El último par tiene que ser los dos últimos números. En general, me parece que 15 formas para hacer tres pares.

A continuación, hay que elegir tres elementos de los cinco elementos de $B$ así que eso es $\binom{5}{3}$ como tú dices.

Entonces sólo tienes $!3$ formas de asociar los tres pares con esos 3 elementos. (3 opciones para el primer par, dos para el segundo, y el último par y el elemento tienen que ser puestos juntos)

Al final se obtiene $15 \times 10 \times 6 = 900$ posibles funciones.

Answer 2

Al principio se divide $A$ en 3 pares.

Primer par en $A$ puede elegir en ${6\choose 2} = 15$ maneras, entonces elija el segundo par en $A$ que puedes hacer en ${4\choose 2} = 6$ formas, y te quedas con el tercer par. Pero ahora dividimos esto por $3!$ ya que si elegimos el primer par $X$ entonces $Y$ y nos quedamos con $Z$ es lo mismo si, por ejemplo, elegimos el primer par $Z$ entonces $X$ y finalmente $Y$ .

Así que podemos dividir $A$ en 3 pares en $15$ diferentes maneras. Ahora, para la partición específica de $A$ en $X$ , $Y$ , $Z$ elegimos una letra para cada par. Para el par $X$ tenemos 5 posibilidades, por par $Y$ 4 y para $Z$ 3.

Así que tenemos $$15\cdot 5\cdot 4\cdot 3 = 900$$ buenas funciones.

Answer 3

Sólo hay 15 formas de emparejar los números.
Cinco opciones para la pareja de 1, entonces ¿cuántas formas de emparejar a los cuatro restantes?