¿Es posible expresar esta propiedad de forma compacta?

Question

Si $f_{a}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ para todos $a \in \mathbb{R}$ y si hay algún $x \in \mathbb{R}$ tal que $f_{a}(x) \leq f_{a}(y)$ para todos $y \in \mathbb{R}$ y todos $a \in \mathbb{R}$ Estoy buscando una forma compacta de expresar esta propiedad de $x$ preferentemente en términos de argmax o argmin.

Tomando argmin $_{y, a}f_{a}(y)$ ciertamente da un resultado no deseado (por el argumento adicional no deseado).

Answer 1

Yo escribiría algo así:

Existen algunas $x\in \Bbb{R}$ que alcanza el mínimo de $f_a$ uniformemente en $a$ Es decir, $f_a(x) \leqslant f_a(y)$ para todos $y \in \Bbb{R}$ y todos $a \in \Bbb{R}$ .

Answer 2

La dificultad no es sólo que $f_a$ tener un $\operatorname{argmin}$ pero que $\operatorname{argmin}$ es $a$ -independiente. Se podría escribir $\{x\}=\{\operatorname{argmin}_{y\in \Bbb R}f_a(y)|a\in\Bbb R\}$ .