Demostrar que $U(n)$ es un grupo abeliano.

Question

Demostrar que $U(n)$ que es el conjunto de todos los números relativamente primos a $n$ que sean mayores o iguales a uno o menores o iguales a $n-1$ es un grupo abeliano.

Mi proceso de pensamiento: para $a, b \in U(n)$

La asociatividad: $(a + b) + c = a + (b + c)$
La identidad: $1$ está en el conjunto así que $a\cdot 1 = a = 1\cdot a$
Invertido: Estoy atascado en cómo determinar la inversa del conjunto si existe.
Criterios abelianos : $a\cdot b = b\cdot a$

Gracias

Answer 1

Es cierto que sabes que la multiplicación en $\Bbb Z$ es asociativa y conmutativa, pero todavía hay que demostrar que la multiplicación en $U(n)$ es asociativa y conmutativa, es decir, que la multiplicación modulo $n$ es asociativo y conmutativo. Para demostrar que cada elemento de $U(n)$ tiene una inversa multiplicativa en $U(n)$ Utilizar El lema de Bézout : si $a$ y $n$ son relativamente primos, hay enteros $u$ y $v$ tal que $au+vn=1$ .

Answer 2

Dejemos que $k\in U(n)$ Por lo tanto $gcd(k,n)=1$ y por lo tanto existen enteros $x,y$ tal que $xk+yn=1$ . Tomado módulo $n$ esta ecuación se convierte en $xk=1$ y así, modulo $n$ la inversa de $k$ es $x$ .

Además, hay que tener en cuenta que la operación de grupo es la multiplicación y no la suma. Demostrar los demás axiomas de los grupos abelianos es fácil.

Answer 3

La ley asociativa y el hecho de que $U(n)$ es abeliano se deduce de esas propiedades en el anillo conmutativo $\mathbb Z_n$ . Como 1 es trivialmente primo relativo de $n$ , $U(n)$ tiene un elemento de identidad. Procedemos a demostrar la existencia de inversos:

Dejemos que $a$ ser relativamente primo de $n$ y definir el mapa $f:U(n)\to U(n)$ por $f(x)=ax$ la función realmente se asigna a $U(n)$ ya que si $(x,n)=1$ entonces $(ax,n)=(a,n)(x,n)=1$ .

Reclamo $f$ es inyectiva. Para, $f(x)=f(y)$ implica $ax\equiv ay$ y así $a(x-y)\equiv 0\pmod n$ . Por lo tanto, $x\equiv y$ ya que $n$ no comparte ningún factor con $a$ . Así, $f$ es inyectiva como se desea. El dominio finito de $f$ es el mismo que su codominio, por lo que $f$ también es suryectiva, mapeando algunos $x_0$ a $1$ . Es decir $f(x_0)=ax_0=1$ .