Punto de discontinuidad

Question

Tengo una función: $$f(x) = x$$ Definido sobre el dominio $\mathbb{R} \backslash 0$ . ¿Es correcto decir que:

La función es continua, pero tiene un punto de discontinuidad en $x=0$ ?

Answer 1

La función es continua para todos los puntos donde está definida, que según usted es el conjunto $\mathbb R - \{0\}$ . No tiene puntos de discontinuidad. Un punto $x$ es un punto de discontinuidad para una función $f:D\to \mathbb R$ si la función está definida en ese punto pero su valor allí no coincide con el límite. Cuando $f$ no está definido en $x$ entonces $x$ no puede considerarse un punto de discontinuidad. Piénsalo así: la función $f(x)=x^2$ definido en todos los números reales, no está definido para $x$ ="la luna". ¿Significa esto que $f$ ¿es discontinua en la luna?

Answer 2

No, la continuidad o discontinuidad de una función en un punto sólo se define si el punto está en el dominio. La función es continua en todos los puntos de su dominio, que se estipuló que era $\mathbb R\setminus \{0\}$ . No está definido en $0$ .

Answer 3

Si $x=0$ no forma parte del dominio de la función, no tiene sentido hablar de las propiedades de la función en ese punto: continuidad o cualquier otra cosa.

Resulta que el dominio en el que está definida esta función forma parte de un dominio mayor: una cuestión fundamental en matemáticas es identificar la posibilidad de extender funciones a estos dominios mayores de forma "buena", ya sea conservando propiedades útiles como la continuidad o adquiriendo otras nuevas, como la conectividad, la compacidad o las raíces de determinadas ecuaciones.

Su $f$ podría ampliarse a $\mathbb R$ definiendo $f(0)=\pi$ . Sin embargo, si quiere preservar la continuidad, debe definir $f(0)=0$ .

Puede considerar la función $g(x)$ definido en el mismo dominio con $g(x)=-x$ cuando $x$ es negativo, y $g(x)=x$ cuando $x$ es positivo. Definición de $g(0) = 0$ guarda $g$ continua, pero ya no es diferenciable en todo el dominio de definición. A veces hay que elegir entre las propiedades deseadas y el dominio elegido.

Answer 4

En primer lugar, estoy de acuerdo con la mayoría de las demás respuestas: Lo que dices de tu $f$ no es totalmente correcto pero $f$ es continua donde está definida.

Me gustaría añadir, que probablemente cierta confusión es causada por el hecho de que hay una obvia extensión a un superconjunto de su dominio de definición. (En este caso, el conjunto $f(0)=0$ )

De hecho, el problema de si una función continua definida en algún conjunto tiene una extensión continua a un conjunto mayor es muy importante en algunos lugares de las matemáticas (por ejemplo, si un operador lineal continuo en un espacio de Banach puede extenderse a un espacio de Banach mayor en el que el anterior está embebido...). Otro ejemplo es el teorema de que una función continua definida sobre un conjunto denso de un espacio métrico tiene una extensión continua a todo el espacio.