Integrar el vector unitario exterior sobre la superficie de una esfera

Question

Estoy tratando de entender una integración sobre la superficie de una esfera que se utiliza en uno de los artículos que estoy leyendo. No sé por qué no puedo entenderlo ya que parece ser una integración bastante sencilla y yo he estado acostumbrado a matemáticas más complejas pero en fin.

Dejemos que $\textbf{r} = \textbf{x - x'}$ , $r = |\textbf{r}|$ y $\textbf{n} = \frac{\textbf{r}}{r}$ donde $|.|$ es la norma euclidiana. El objetivo es calcular la siguiente integral para $i, j \in \{1,2,3\}$ :

$$I = \int_{A(r)} n_{i}n_{j}\text{d}A$$

Donde $A(r)$ denota una superficie esférica de radio $r$ .

La forma en que lo he hecho es decir que para una superficie esférica de radio $r$ tenemos

$$\text{d}A = r\sin(\phi)\text{d}\phi\text{d}\theta$$

con $(\phi, \theta) \in [0,\pi]\times[0,2\pi]$ y como $r_{i}$ o $r_{j}$ no dependen de los ángulos que deberíamos tener

$$I = 4\pi r_{i}r_{j}$$

Sin embargo el artículo que estoy leyendo tiene el resultado

$$I = \frac{4\pi r^{2}}{3} \delta_{ij}$$

He estado pensando en ello pero no consigo encontrar mi error.

Gracias por su ayuda amable desconocido :)

Answer 1

Dada su elección de parámetros, parece que está parametrizando $A(r)$ a través de $$\begin{equation} (\phi,\theta) \mapsto (r\cos\theta\sin\phi, r\sin\theta\sin\phi, r\cos\phi). \end{equation}$$ Esto nos permite parametrizar el vector normal unitario $\mathbf{n}$ : $$\begin{equation} \mathbf{n}(\phi,\theta) = (\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi). \end{equation}$$ A partir de esto tenemos $$\begin{align*} n_1n_{1} &= \cos^2\theta\sin^2\phi\\ n_1n_2 &= \sin\theta\cos\theta\sin^2\phi\\ n_1n_3 &= \cos\theta\sin\phi\cos\phi\\ n_2n_2 &= \sin^2\theta\sin^2\phi\\ n_2n_3 &= \sin\theta\sin\phi\cos\phi\\ n_3n_3 &= \cos^2\phi. \end{align*}$$ Entonces tenemos $$\begin{equation} I_{ij} = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi n_in_j r^2\sin\phi d\phi d\theta. \end{equation}$$ (Obsérvese que el factor integrador debe ser $dA=r^2\sin\phi d\phi d\theta$ . Se puede obtener calculando el determinante jacobiano correspondiente para su parametrización). Entonces podemos calcular directamente las seis integrales. Por ejemplo, $$\begin{align*} I_{11} &= \int_0^{2\pi}\int_0^\pi r^2\cos^2\theta\sin^3\phi d\phi d\theta = r^2\left(\int_0^{2\pi}\cos^2\theta d\theta\right)\left(\int_0^\pi \sin^3\phi d\phi\right)\\ &= r^2\cdot \pi\cdot \frac{4}{3} = \frac{4\pi r^2}{3}\delta_{11}. \end{align*}$$ Las otras integrales funcionarán de forma similar. El verdadero problema parece ser el factor integrador. Observa que si $i\neq j$ entonces $n_in_j$ tiene un poder impar $\theta$ término, y esto acabará con la integral.