Dualidad en dimensión finita arbitraria mediante el tensor de Levi-Civita

Question

En el contexto de la E&M métrica plana 4-D, dado un rango $p$ se puede construir el dual de $4-p$ tensor de rango por el tensor de Levi-Civita. Aquí dual no es en el mismo sentido de dual matemático. No sé de dónde viene. Las siguientes son mis preguntas:

1. ¿Es necesariamente cierto para una dimensión arbitraria que $n$ dado un rango $p$ tensor, siempre se puede tener un rango $n-p$ construido por el tensor de Levi-Civita dual al rango $p$ ¿Tensor?

2. Si es cierto, en cualquier espacio dimensional+1 dimensión del tiempo, cualquier tensor y su dual contienen la misma información. ¿No debería ser que cuanto más grande es el espacio, más información se arroja? ¿Por qué espero que esta dualidad sea cierta hasta cualquier dimensión?

3. Parece que, de alguna manera, hay una especie de correspondencia uno a uno entre el dual y el propio doble dual, donde el dual todavía no es el familiar dual matemático. Sabía que en matemáticas el espacio dual es isomorfo al espacio dual, lo cual es diferente de lo que estamos hablando aquí. ¿Cuál es la correspondencia en el contexto dual de E&M?

Answer 1

Tu pregunta es sobre la verdadera dualidad matemática, sólo que no la conoces. Lo que buscas es La dualidad de Hodge que se mantiene en el álgebra exterior de cualquier espacio vectorial equipado con un producto interno y una orientación y las formas diferenciales que se observan en EM, GR y en otros lugares son sólo elementos del álgebra exterior del espacio tangente (o, equivalentemente, de la cohomología deRham) que, afortunadamente, está equipado canónicamente con un producto interno inducido por la métrica de la variedad del espaciotiempo.

Es un resultado básico (es combinatorio - ¡si puedes contar, puedes demostrarlo!) que el $p$ -grado del álgebra exterior sobre un espacio de dimensión $n$ tiene dimensión $n \choose p$ y como $\binom{n}{p} = \binom{n}{n-p}$ los espacios de la $p$ -y $n-p$ -tienen efectivamente la misma dimensión, y el envío de sus vectores base entre sí a través del tensor épsilon define un isomorfismo.