Demostrar que un grupo tiene un subgrupo normal isomorfo a $D_8$ tiene un centro no trivial

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo que tiene un subgrupo normal isomorfo a $D_8$ . Demostrar que $G$ tiene un centro no trivial.

Por lo tanto, teniendo en cuenta $g\in G$ , $h\in D_8$ $ghg^{-1}\in D_8$ . Así que traté de demostrar que hay un elemento (no igual a la identidad) $h\in D_8$ tal que $ghg^{-1}=h$ pero hasta ahora no he tenido éxito. He utilizado el método de prueba y error. Pero no probé todos porque hay muchos. Mi pregunta es, ¿es posible encontrar tal elemento? O bien, ¿qué otro método funciona aquí?

Answer 1

Obsérvese que el centro de un grupo $D_8$ es un característica subgrupo de $D_8$ . Por lo tanto, cualquier automorfismo de $D_8$ (por ejemplo, los que son automorfismos internos de $G$ ) lo dejan invariable. Por lo tanto, hay que determinar el centro de $D_8$ y luego verificar que tiene pocos automorfismos.

Answer 2

Sugerencia: si $N$ es un subgrupo normal de $G$ y $|N|=2$ entonces $N \subseteq Z(G)$ .