¿Cómo puedo comprobar mi solución para esta EDO?

Question

Tengo $x''(t) - x(t) = e^{t}$ con condiciones de contorno $x(0) - x(1) = 0$ y $x'(0) - x'(1) = 0$ .

Me parece que la solución es $x(t) = e^t \frac{4t-2}{8} + c_{1} e^{t} + c_{2}e^{-t}$ , pero encontrar $c_{1},c_{2}$ es tedioso de encontrar. Yo encuentro $c_{1} = \frac{-\frac{1}{4} ((1-e) + e + 1)}{-(1-e^{-1}) - (1-e)} \cdot \frac{(1-e^{-1}) - \frac{e}{4} - \frac{1}{4}}{1-e}$ y $c_{2} = \frac{\frac{1}{4} ((1-e) + e + 1)}{-(1-e^{-1}) - (1-e)}$

¿Cómo voy a comprobar si $c_{1},c_{2}$ son correctas si no se calculan a mano? Esto parece demasiado complicado, pero no veo inmediatamente un error en mi trabajo.

Answer 1

Para resolver:

$$\text{x}''\left(t\right)-\text{x}\left(t\right)=e^t$$

Utiliza la transformada de Laplace:

$$\text{s}^2\text{X}\left(\text{s}\right)-\text{s}\text{x}\left(0\right)-\text{x}'\left(0\right)-\text{X}\left(\text{s}\right)=\frac{1}{\text{s}-1}$$

Resolver $\text{X}\left(\text{s}\right)$ :

$$\text{X}\left(\text{s}\right)=\frac{\frac{1}{\text{s}-1}+\text{s}\text{x}\left(0\right)+\text{x}'\left(0\right)}{\text{s}^2-1}$$

Ahora:

1. $$\text{x}\left(0\right)-\text{x}\left(1\right)=0\space\Longleftrightarrow\space\text{x}\left(0\right)=\text{x}\left(1\right)$$
2. $$\text{x}'\left(0\right)-\text{x}'\left(1\right)=0\space\Longleftrightarrow\space\text{x}'\left(0\right)=\text{x}'\left(1\right)$$

Utilizando la transformada inversa de Laplace:

$$\text{x}\left(t\right)=\frac{\cosh\left(t\right)\left(t+2\text{x}\left(0\right)\right)+\sinh\left(t\right)\left(t+2\text{x}'\left(0\right)-1\right)}{2}$$