PDF para una función de variables aleatorias

Question

Si $g=f(x,y)$ es una función de variables aleatorias independientes $x$ y $y$ entonces cómo llegamos a la expresión de la función de densidad de probabilidad de $g$ ,

$$f_G(g) = \iint f_X(x)f_Y(y)\delta(g-f(x,y))\mbox{d}x\mbox{d}y\ ?$$

He estado buscando en algunos libros de estadística pero no lo encuentro. Tampoco soy capaz de derivarlo yo mismo. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Cambiando la variable de $g$ a $u = g - f(x,y)$ da

$$\eqalign{ \int_{-\infty}^{t}\delta(g - f(x,y))dg =\int_{-\infty}^{t-f(x,y)}\delta(u)du = I_{t - f(x,y) \ge 0} = I_{f(x,y)\le t} }$$

(donde $I$ es una función indicadora). Esta es la definición de $\delta$ . Ahora escriba el FCD para $g$ como una integral; a saber,

$$\eqalign{ \int_{-\infty}^{t} f_G(g)dg = &G(t) \\ = &\mathbb{P}[f(x,y)\le t] \\ = &\iint_{\{f(x,y)\le t\}}f_X(x)f_Y(y)dx dy \\ = &\iint I_{f(x,y)\le t}f_X(x)f_Y(y)dx dy \\ = &\iint\left(\int_{-\infty}^{t}\delta(g - f(x,y))dg\right)f_X(x)f_Y(y)dx dy \\ = &\int_{-\infty}^{t} \left(\iint\delta(g - f(x,y)) f_X(x)f_Y(y)dx dy\right) dg. \\ }$$ En cada uno de estos pasos, excepto en el último, se ha aplicado una definición (de la pdf, de la CDF, de $\mathbb{P}$ y de la integral, en ese orden) o el resultado anterior. El último paso es el Teorema de Fubini extendido a las distribuciones.

La idea de hacerlo así proviene de la intuición fundamental para trabajar con funciones generalizadas ("distribuciones") como $\delta$ : se definen en términos de integración por partes. Tomando esto como una invitación a integrar $\delta(g - f(x,y))dg$ lleva a la primera observación y todo sigue fácilmente.