Determinar la categoría de los conjuntos

Question

Determinar la categoría de los conjuntos

$A = \{1\}, B=\{0\}, C=\bigcup_{n=1}^\infty \{1/n\},$ en el espacio $\mathbb{R}$ con $d(x,y) =|x|+|y|$ para $x\neq y.$

En la métrica habitual sé que los singletons son no-meager ya que no pueden ser divididos pero me confundí cuando la métrica cambió a $d(x,y) =|x|+|y|$ .

Answer 1

Con esta métrica, $\{x\}$ es abierto y cerrado para cada $x\in \Bbb R$ \ $\{0\}$ porque $B_d(x,|x|/2)=\{x\}$ si $x\ne 0.$

Así que si $x\ne 0$ entonces $\{x\}$ no es escaso. Porque si $\{x\}=\cup_{n\in \Bbb N}S_n$ entonces $S_n=\{x\}$ para algunos $n,$ por lo que $int(S_n)=S_n =\{x\} \ne \phi$ Así que $S_n$ no es denso en ninguna parte.

De la misma manera, $C$ es un conjunto abierto contablemente infinito por lo que si $C=\cup_{n\in \Bbb N}T_n$ entonces alguna (cualquiera) no vacía $T_n$ tiene un interior no vacío (porque cualquier subconjunto no vacío de $C$ está abierto). Así que $C$ no es escaso.

Por otro lado $int(\{0\}$ está vacía. Porque si $r>0$ entonces $B_d(0,r)=\{y\in \Bbb R: |y|<r\}$ no es un subconjunto de $\{0\}.$ Pero como $\{0\}$ también está cerrado, $\{0\}$ es, por tanto, un conjunto cerrado no denso en ninguna parte, por lo que es escaso.