Como se ha dicho anteriormente, estoy atascado en el cálculo de la matriz inversa de $I+\mu\mu^{\top}$ , donde $\mu$ es un vector unitario, es decir $\vert\mu\vert=1$ y $\vert\cdot\vert$ es $L^{2}$ -normas.
Respuestas
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Aplicar el Sherman-Morrison fórmula $$\eqalign{ (I+\mu\mu^\top)^{-1} &= I^{-1} - \frac{I^{-1}\mu\mu^\top I^{-1}}{1+\mu^\top I^{-1}\mu} \cr &= I - \frac{\mu\mu^\top}{1+\mu^\top\mu} \cr &= I - \frac{1}{2}\mu\mu^\top \cr }$$
P.Vd
Puntos
1
Dejemos que $u\in L(\mathbb{R}^n)$ representando a $A$ en la base canónica, eso significa $u:x\to x+(\mu,x)\mu$ donde $(\cdot,\cdot)$ es el producto interno. En efecto, $$AX=X+\mu\mu^TX=X+(\mu^TX)\mu$$
Análisis : Dejemos que $y\in\mathbb{R}^n$ queremos resolver $y=x+(\mu,x)\mu$ .
Tomar el producto interior con $\mu$ : $(\mu,y)=(\mu,x)(1+|\mu|^2)=2(\mu,x)$ .
Entonces $x=y-(\mu,x)\mu=y-\frac{1}{2}(\mu,y)\mu$ .
Síntesis : $A^{-1}=I-\frac{1}{2}\mu\mu^T$ .
